Échelle de pompier
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Créer un compteObjectifs travaillés
Une échelle de pompier mesure $12$ m. Elle est posée contre un mur vertical, son pied étant placé à $3{,}5$ m du mur.
- Calculer la mesure $\alpha$ de l'angle que fait l'échelle avec le sol, arrondie au degré.
- Calculer la hauteur atteinte par le sommet de l'échelle sur le mur, arrondie au cm. (On pourra utiliser le théorème de Pythagore.)
Corrigé
On note $P$ le pied de l'échelle, $S$ son sommet et $M$ le point du mur situé au pied du mur (juste sous $S$). Le triangle $PMS$ est rectangle en $M$ (mur vertical, sol horizontal).
L'hypoténuse est $[PS]$ (l'échelle, $12$ m).
Le côté adjacent à $\alpha = \widehat{SPM}$ est $[PM]$ (la distance au sol, $3{,}5$ m).$\cos(\alpha) = \dfrac{PM}{PS} = \dfrac{3{,}5}{12}$
À la calculatrice (en mode degrés) :
$\alpha = \cos^{-1}\!\left(\dfrac{3{,}5}{12}\right) \approx 73^{\circ}$L'échelle fait un angle d'environ $\mathbf{73^{\circ}}$ avec le sol.
La hauteur cherchée est $MS$. Comme le triangle $PMS$ est rectangle en $M$, le théorème de Pythagore donne :
$PS^2 = PM^2 + MS^2$
$12^2 = 3{,}5^2 + MS^2$
$144 = 12{,}25 + MS^2$
$MS^2 = 144 - 12{,}25$
$MS^2 = 131{,}75$
$MS = \sqrt{131{,}75}$
$MS \approx 11{,}478$ mLe sommet de l'échelle atteint une hauteur d'environ $11{,}48$ m, soit $1148$ cm.
Pour réviser : Résoudre un problème concret avec le cosinus.