Toit symétrique d’une maison
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Une maison a un toit à deux pans symétriques. Chaque pan forme un angle de $35^{\circ}$ avec l'horizontale. La largeur totale du grenier (la base horizontale du toit, au niveau du plafond du dernier étage) est de $8$ m.
- Calculer la longueur $AS$ d'un pan de toit, arrondie au cm.
- Le toit s'étend sur une profondeur de $12$ m (perpendiculairement au plan du dessin). On souhaite recouvrir entièrement les deux pans d'ardoises. Calculer l'aire totale à recouvrir, arrondie au $\text{m}^2$.
Corrigé
Soit $M$ le milieu de $[AB]$. Comme le toit est symétrique, $S$ est situé directement au-dessus de $M$, donc $[SM]$ est vertical et $[AM]$ est horizontal : le triangle $ASM$ est rectangle en $M$.
Comme $M$ est le milieu de $[AB]$ : $AM = \dfrac{8}{2} = 4$ m.
L'hypoténuse de ce triangle est $[AS]$ (le pan de toit, qui est la longueur cherchée).
Le côté adjacent à l'angle $\widehat{SAM} = 35^{\circ}$ est $[AM]$.$\cos(35^{\circ}) = \dfrac{AM}{AS}$
$\cos(35^{\circ}) = \dfrac{4}{AS}$
$AS = \dfrac{4}{\cos(35^{\circ})} \approx \dfrac{4}{0{,}8192} \approx 4{,}88$ mUn pan de toit mesure environ $4{,}88$ m.
Chaque pan est un rectangle de longueur $AS \approx 4{,}88$ m et de largeur $12$ m. Son aire vaut :
$\mathcal{A}_1 = 4{,}88 \times 12 \approx 58{,}56 \text{ m}^2$Comme les deux pans sont identiques, l'aire totale à recouvrir est :
$\mathcal{A} = 2 \times 58{,}56 \approx 117{,}12 \text{ m}^2$L'aire totale à recouvrir d'ardoises est d'environ $\mathbf{117 \text{ m}^2}$.
Pour réviser : Calculer l'hypoténuse avec le cosinus.