Diagonales perpendiculaires d’un cerf-volant

1. On compare les triangles $ABC$ et $ADC$ :

   • $AB = AD$ (donné par l'énoncé).
   • $CB = CD$ (donné par l'énoncé).
   • $AC = AC$ (côté commun aux deux triangles).

   Les trois côtés sont deux à deux de même longueur. D'après le cas CCC, les triangles $ABC$ et $ADC$ sont égaux.

2. Deux triangles égaux ont leurs angles deux à deux de même mesure. En particulier, les angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{DAC}$ sont de même mesure.
   La droite $(AC)$ partage donc l'angle $\widehat{BAD}$ en deux angles de même mesure : c'est la bissectrice de l'angle $\widehat{BAD}$.

3. On compare les triangles $ABM$ et $ADM$ :

   • $AB = AD$ (donné par l'énoncé).
   • $\widehat{BAM} = \widehat{DAM}$ : c'est la conclusion de la question 2, car $M$ appartient à $(AC)$.
   • $AM = AM$ (côté commun aux deux triangles).

   L'angle est compris entre les deux côtés de même longueur dans chaque triangle. D'après le cas CAC, les triangles $ABM$ et $ADM$ sont égaux.

4. Les triangles $ABM$ et $ADM$ étant égaux, leurs angles correspondants sont de même mesure. En particulier :
   $\widehat{AMB} = \widehat{AMD}$.
   Or les points $B$, $M$ et $D$ sont alignés (sur la diagonale $[BD]$), donc les angles $\widehat{AMB}$ et $\widehat{AMD}$ sont supplémentaires :
   $\widehat{AMB} + \widehat{AMD} = 180^{\circ}$.
   Comme ces deux angles sont égaux :
   $2 \times \widehat{AMB} = 180^{\circ}$, donc $\widehat{AMB} = 90^{\circ}$.
   Les diagonales $(AC)$ et $(BD)$ sont donc perpendiculaires.

Pour réviser : Démontrer que deux triangles sont égaux.