Équivalence de deux programmes de calcul
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On considère les deux programmes de calcul suivants.
| Programme A | Programme B |
| Choisir un nombre. | Choisir un nombre. |
| Le multiplier par 4. | L'augmenter de 3. |
| Ajouter 6. | Multiplier le résultat par 2. |
| Soustraire le double du nombre de départ. |
- Tester les deux programmes avec le nombre de départ $ 5 $. Que constate-t-on ?
- On note $ x $ le nombre choisi au départ. Exprimer en fonction de $ x $, sous forme réduite, le résultat de chaque programme.
- Démontrer que les deux programmes donnent toujours le même résultat, quel que soit le nombre de départ.
- On modifie le programme A : on remplace la dernière étape par « Soustraire le quadruple du nombre de départ ».
Démontrer que ce nouveau programme donne toujours le même résultat, quel que soit le nombre de départ. Préciser ce résultat.
Corrigé
On suit chaque étape avec le nombre $ 5 $.
Programme A : $ 5 \times 4 = 20 $ ; $ 20 + 6 = 26 $ ; $ 26 - 2 \times 5 = 26 - 10 = 16 $.
Programme B : $ 5 + 3 = 8 $ ; $ 8 \times 2 = 16 $.
Les deux programmes donnent $ 16 $ pour le nombre $ 5 $.
On traduit chaque programme en expression littérale en notant $ x $ le nombre de départ.
Programme A :
$ x \xrightarrow{\times 4} 4x \xrightarrow{+ 6} 4x + 6 \xrightarrow{- 2x} 4x + 6 - 2x $On réduit : le programme A donne $ 2x + 6 $.
Programme B :
$ x \xrightarrow{+ 3} x + 3 \xrightarrow{\times 2} 2(x + 3) $On développe : le programme B donne $ 2x + 6 $.
Tester avec un seul nombre ne suffit pas pour démontrer une équivalence. On compare les expressions obtenues à la question 2 :
Programme A : $ 2x + 6 $.
Programme B : $ 2x + 6 $.
Les deux expressions sont identiques. Donc, pour tout nombre $ x $ choisi au départ, les deux programmes donnent le même résultat.
On reprend la traduction du programme A en remplaçant la dernière étape :
$ x \xrightarrow{\times 4} 4x \xrightarrow{+ 6} 4x + 6 \xrightarrow{- 4x} 4x + 6 - 4x $
On réduit : $ 4x - 4x + 6 = 6 $.
L'expression réduite vaut $ 6 $, sans la moindre apparition de $ x $. Quel que soit le nombre choisi au départ, le programme donne toujours $\mathbf{6}$.