Aire d’un jardin agrandi : calcul littéral
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Un jardin rectangulaire a pour longueur $ x $ mètres et pour largeur $ 8 $ mètres.
On agrandit le jardin en augmentant sa longueur de $ 5 $ mètres ; la largeur reste inchangée.
- Exprimer en fonction de $ x $, sous la forme d'un produit, l'aire $ \mathcal{A} $ du nouveau jardin (en m²).
- Développer cette expression pour l'écrire sous la forme d'une somme.
- Calculer l'aire du nouveau jardin pour $ x = 12 $ mètres.
- Sami affirme : « L'aire du nouveau jardin est égale à l'aire de l'ancien jardin augmentée de $ 40 $ m². » A-t-il raison ? Justifier.
Corrigé
Le nouveau jardin est un rectangle de longueur $ (x + 5) $ m et de largeur $ 8 $ m. Son aire est égale au produit longueur $\times$ largeur :
$ \mathcal{A} = 8 \times (x + 5) $D'où $ \mathcal{A} $ = $\mathbf{8(x + 5)}$ m².
On développe en distribuant $ 8 $ :
$ \mathcal{A} = 8 \times x + 8 \times 5 = 8x + 40 $
D'où $ \mathcal{A} $ = $\mathbf{8x + 40}$ m².
On remplace $ x $ par $ 12 $ dans l'expression développée :
$ \mathcal{A} = 8 \times 12 + 40 = 96 + 40 = 136 $
L'aire du nouveau jardin est de $\mathbf{136}$ m².
L'aire de l'ancien jardin est $ x \times 8 = 8x $ m².
L'aire du nouveau jardin est $ 8x + 40 $ m².
La différence entre les deux aires est :
$ (8x + 40) - 8x = 40 $
L'aire du nouveau jardin est donc bien égale à l'aire de l'ancien jardin plus $ 40 $ m² : Sami a raison.