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Divisibilité et nombres premiers Exercices

Simplifier des fractions et reconnaître des fractions égales

Durée estimée
15 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

  1. Rendre chacune des fractions suivantes irréductible en utilisant la décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur.

    1. $ \dfrac{84}{180} $
    2. $ \dfrac{198}{252} $
    3. $ \dfrac{275}{385} $

  2. Les fractions suivantes sont-elles égales ? Justifier la réponse en utilisant la méthode de votre choix.

    1. $ \dfrac{42}{63} $ et $ \dfrac{30}{45} $
    2. $ \dfrac{105}{154} $ et $ \dfrac{45}{66} $

Corrigé

    1. On décompose $ 84 $ et $ 180 $ :
      $ 84 = 2^2 \times 3 \times 7 $
      $ 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5 $

      On simplifie les facteurs communs ($ 2^2 $ et $ 3 $) :

      $ \dfrac{84}{180} = \dfrac{2^2 \times 3 \times 7}{2^2 \times 3^2 \times 5} = \dfrac{7}{3 \times 5} = \dfrac{7}{15} $

      D'où $\mathbf{\dfrac{84}{180} = \dfrac{7}{15}}$.

    2. On décompose $ 198 $ et $ 252 $ :
      $ 198 = 2 \times 3^2 \times 11 $
      $ 252 = 2^2 \times 3^2 \times 7 $

      On simplifie les facteurs communs ($ 2 $ et $ 3^2 $) :

      $ \dfrac{198}{252} = \dfrac{2 \times 3^2 \times 11}{2^2 \times 3^2 \times 7} = \dfrac{11}{2 \times 7} = \dfrac{11}{14} $

      D'où $\mathbf{\dfrac{198}{252} = \dfrac{11}{14}}$.

    3. On décompose $ 275 $ et $ 385 $ :
      $ 275 = 5^2 \times 11 $
      $ 385 = 5 \times 7 \times 11 $

      On simplifie les facteurs communs ($ 5 $ et $ 11 $) :

      $ \dfrac{275}{385} = \dfrac{5^2 \times 11}{5 \times 7 \times 11} = \dfrac{5}{7} $

      D'où $\mathbf{\dfrac{275}{385} = \dfrac{5}{7}}$.

    1. On utilise les produits en croix :
      $ 42 \times 45 = 1\,890 $
      $ 63 \times 30 = 1\,890 $

      Les produits en croix sont égaux, donc $\mathbf{\dfrac{42}{63} = \dfrac{30}{45}}$.

      Vérification : $ \dfrac{42}{63} = \dfrac{2 \times 3 \times 7}{3^2 \times 7} = \dfrac{2}{3} $ et $ \dfrac{30}{45} = \dfrac{2 \times 3 \times 5}{3^2 \times 5} = \dfrac{2}{3} $. Les deux fractions ont bien la même forme irréductible $ \dfrac{2}{3} $.

    2. On utilise les produits en croix :
      $ 105 \times 66 = 6\,930 $
      $ 154 \times 45 = 6\,930 $

      Les produits en croix sont égaux, donc $\mathbf{\dfrac{105}{154} = \dfrac{45}{66}}$.

      Vérification : $ \dfrac{105}{154} = \dfrac{3 \times 5 \times 7}{2 \times 7 \times 11} = \dfrac{15}{22} $ et $ \dfrac{45}{66} = \dfrac{3^2 \times 5}{2 \times 3 \times 11} = \dfrac{15}{22} $. Les deux fractions ont bien la même forme irréductible $ \dfrac{15}{22} $.