Reconnaître si deux fractions sont égales
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Pour déterminer si deux fractions $ \dfrac{a}{b} $ et $ \dfrac{c}{d} $ sont égales, on peut utiliser deux méthodes :
Méthode 1 — Produits en croix :
Méthode 2 — Forme irréductible :
Simplifier chaque fraction jusqu'à sa forme irréductible. Si les deux formes irréductibles sont identiques, les fractions sont égales.
Fractions égales (produits en croix)
Les fractions $ \dfrac{12}{18} $ et $ \dfrac{14}{21} $ sont-elles égales ?
On calcule les produits en croix :
$ 12 \times 21 = 252 $
$ 18 \times 14 = 252 $
Les produits en croix sont égaux, donc $ \dfrac{12}{18} = \dfrac{14}{21} $.
Fractions égales (forme irréductible)
Les fractions $ \dfrac{36}{48} $ et $ \dfrac{45}{60} $ sont-elles égales ?
On simplifie chaque fraction en décomposant en facteurs premiers :
$ \dfrac{36}{48} = \dfrac{2^2 \times 3^2}{2^4 \times 3} = \dfrac{3}{2^2} = \dfrac{3}{4} $
$ \dfrac{45}{60} = \dfrac{3^2 \times 5}{2^2 \times 3 \times 5} = \dfrac{3}{2^2} = \dfrac{3}{4} $
Les deux fractions se simplifient en $ \dfrac{3}{4} $, donc elles sont égales.
Fractions non égales
Les fractions $ \dfrac{8}{15} $ et $ \dfrac{14}{25} $ sont-elles égales ?
On calcule les produits en croix :
$ 8 \times 25 = 200 $
$ 15 \times 14 = 210 $
Les produits en croix ne sont pas égaux ($ 200 \neq 210 $), donc $ \dfrac{8}{15} \neq \dfrac{14}{25} $.
Avec des fractions négatives
Les fractions $ \dfrac{-18}{30} $ et $ \dfrac{21}{-35} $ sont-elles égales ?
On simplifie chaque fraction :
$ \dfrac{-18}{30} = \dfrac{-(2 \times 3^2)}{2 \times 3 \times 5} = \dfrac{-3}{5} $
$ \dfrac{21}{-35} = \dfrac{3 \times 7}{-(5 \times 7)} = \dfrac{3}{-5} = \dfrac{-3}{5} $
Les deux fractions se simplifient en $ \dfrac{-3}{5} $, donc elles sont égales.
Attention
- Les produits en croix ne fonctionnent qu'entre deux fractions. Pour comparer avec un entier, écrire d'abord l'entier sous forme de fraction (par exemple $ 3 = \dfrac{3}{1} $).
- La méthode par forme irréductible est plus longue mais permet de comprendre pourquoi les fractions sont égales : elles proviennent de la même fraction simplifiée.