Répartition d’un budget mensuel

Durée estimée

10 minutes

Difficulté

Chaque mois, Léa reçoit son salaire, qu'elle répartit en plusieurs catégories de dépenses :

Calculer la fraction du salaire consacrée à l'ensemble des dépenses (logement, courses, transports).
En déduire la fraction du salaire qui est épargnée chaque mois.
Le salaire mensuel de Léa est de $ 1\,800 $ €. Quel montant est épargné chaque mois ?
À la fin du mois, Léa reçoit une facture imprévue qu'elle paye en utilisant $ \dfrac{2}{3} $ de la somme épargnée durant ce mois. Quelle fraction du salaire mensuel a-t-elle alors réellement épargnée ce mois-ci, après le paiement de la facture ? Donner le résultat sous forme de fraction simplifiée.

Corrigé

On additionne les trois fractions. Dénominateur commun de $ 5 $, $ 4 $ et $ 8 $ : $ 40 $.

$ \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{2 \times 8}{40} + \dfrac{1 \times 10}{40} + \dfrac{1 \times 5}{40} = \dfrac{16 + 10 + 5}{40} = \dfrac{31}{40} $

L'ensemble des dépenses représente $\mathbf{\dfrac{31}{40}}$ du salaire.
Le salaire entier représente $ 1 = \dfrac{40}{40} $ du salaire. La fraction épargnée est donc :

$ 1 - \dfrac{31}{40} = \dfrac{40}{40} - \dfrac{31}{40} = \dfrac{9}{40} $

Léa épargne $\mathbf{\dfrac{9}{40}}$ de son salaire chaque mois.
Le montant épargné est :

$ \dfrac{9}{40} \times 1\,800 = \dfrac{9 \times 1\,800}{40} = \dfrac{16\,200}{40} = 405 $

Léa épargne donc $ 405 $ € chaque mois.
La facture utilise $ \dfrac{2}{3} $ de l'épargne du mois, c'est-à-dire $ \dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{40} $ du salaire.

$ \dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{40} = \dfrac{2 \times 9}{3 \times 40} = \dfrac{1 \times 3}{1 \times 20} = \dfrac{3}{20} $

La facture représente $ \dfrac{3}{20} $ du salaire mensuel.

L'épargne réellement conservée vaut donc :

$ \dfrac{9}{40} - \dfrac{3}{20} = \dfrac{9}{40} - \dfrac{3 \times 2}{20 \times 2} = \dfrac{9}{40} - \dfrac{6}{40} = \dfrac{3}{40} $

Après paiement de la facture, Léa a réellement épargné $\mathbf{\dfrac{3}{40}}$ de son salaire ce mois-ci.