Additionner et soustraire des fractions (avec relatifs)
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Méthode
Pour additionner ou soustraire deux fractions :
- Choisir un dénominateur commun (un multiple commun des deux dénominateurs).
- Réécrire chaque fraction avec ce dénominateur commun en multipliant numérateur et dénominateur par le même nombre.
- Additionner ou soustraire les numérateurs en appliquant la règle des signes, et garder le dénominateur commun.
- Simplifier la fraction obtenue si possible.
Choix du dénominateur commun
En pratique :
- L'un des dénominateurs est multiple de l'autre : on garde le plus grand. Exemple : entre $ 4 $ et $ 12 $, on choisit $ 12 $.
- Les deux dénominateurs n'ont pas de lien direct : on prend leur produit. Exemple : entre $ 5 $ et $ 7 $, on choisit $ 35 $.
Dénominateur multiple de l'autre
Calculer $ A = \dfrac{7}{10} - \dfrac{3}{5} $.
Étape 1 : $ 10 $ est un multiple de $ 5 $, on prend $ 10 $ comme dénominateur commun.
Étape 2 : On réécrit $ \dfrac{3}{5} $ avec $ 10 $ au dénominateur :
$ \dfrac{3}{5} = \dfrac{3 \times 2}{5 \times 2} = \dfrac{6}{10} $
Étape 3 : On soustrait les numérateurs :
$ A = \dfrac{7}{10} - \dfrac{6}{10} = \dfrac{7 - 6}{10} = \dfrac{1}{10} $
Dénominateurs sans lien direct
Calculer $ B = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} $.
Étape 1 : $ 3 $ et $ 4 $ n'ont pas de diviseur commun autre que $ 1 $. On prend $ 3 \times 4 = 12 $ comme dénominateur commun.
Étape 2 : On réécrit chaque fraction :
$ \dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12} \qquad \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{3}{12} $
Étape 3 : On additionne les numérateurs :
$ B = \dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{8 + 3}{12} = \dfrac{11}{12} $
Avec une fraction négative
Calculer $ C = \dfrac{-5}{6} + \dfrac{3}{4} $.
Étape 1 : Le plus petit multiple commun de $ 6 $ et $ 4 $ est $ 12 $.
Étape 2 : On réécrit chaque fraction (attention : le signe s'applique à tout le numérateur) :
$ \dfrac{-5}{6} = \dfrac{-5 \times 2}{6 \times 2} = \dfrac{-10}{12} \qquad \dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12} $
Étape 3 : On additionne les numérateurs en appliquant la règle des signes :
$ C = \dfrac{-10}{12} + \dfrac{9}{12} = \dfrac{-10 + 9}{12} = \dfrac{-1}{12} $
Soustraction avec numérateur négatif
Calculer $ D = \dfrac{3}{8} - \dfrac{-1}{2} $.
Étape 1 : $ 8 $ est un multiple de $ 2 $, on prend $ 8 $.
Étape 2 : On réécrit $ \dfrac{-1}{2} = \dfrac{-1 \times 4}{2 \times 4} = \dfrac{-4}{8} $.
Étape 3 : Soustraire $ -4 $, c'est ajouter $ 4 $ :
$ D = \dfrac{3}{8} - \dfrac{-4}{8} = \dfrac{3 - (-4)}{8} = \dfrac{3 + 4}{8} = \dfrac{7}{8} $
Attention
- On ne peut jamais additionner ni soustraire les dénominateurs. Par exemple $ \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} \neq \dfrac{2}{8} $.
- Le signe d'une fraction s'applique à tout le numérateur. Quand on met au même dénominateur, ne pas perdre le signe : $ \dfrac{-5}{6} = \dfrac{-10}{12} $ (et non $ \dfrac{10}{12} $).