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Symétrie centrale Exercices

Conservation des longueurs, angles et aires

Durée estimée
10 minutes
Difficulté
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Objectif travaillé

Le triangle $ A'B'C' $ est le symétrique du triangle $ ABC $ par rapport à un point $ O $.

On donne : $ AB = 6{,}5 $ cm, $ BC = 4{,}8 $ cm, $ AC = 5{,}2 $ cm et $ \widehat{BAC} = 47° $.

L'aire du triangle $ ABC $ vaut $ 12{,}48 $ cm².

Triangle ABC et son symétrique A'B'C' par rapport au point O
  1. Donner, sans calcul, les longueurs $ A'B' $, $ B'C' $ et $ A'C' $. Justifier la réponse.
  2. Donner la mesure de l'angle $ \widehat{B'A'C'} $. Justifier la réponse.
  3. Calculer le périmètre du triangle $ ABC $.
  4. En déduire le périmètre du triangle $ A'B'C' $.
  5. Donner l'aire du triangle $ A'B'C' $.

Corrigé

  1. La symétrie centrale conserve les longueurs. On a donc :
    $ A'B' = AB = $ $ 6{,}5 $ cm,
    $ B'C' = BC = $ $ 4{,}8 $ cm,
    $ A'C' = AC = $ $ 5{,}2 $ cm.
  2. La symétrie centrale conserve les mesures des angles. On a donc $ \widehat{B'A'C'} = \widehat{BAC} = $ $\mathbf{47°}$.
  3. Le périmètre du triangle $ ABC $ est la somme des longueurs de ses côtés :
    $ \mathcal{P}_{ABC} = AB + BC + AC = 6{,}5 + 4{,}8 + 5{,}2 $ = $ 16{,}5 $ cm.
  4. La symétrie centrale conserve les longueurs, donc elle conserve aussi le périmètre. On a donc $ \mathcal{P}_{A'B'C'} = \mathcal{P}_{ABC} = $ $ 16{,}5 $ cm.
  5. La symétrie centrale conserve les aires. L'aire du triangle $ A'B'C' $ vaut donc $ 12{,}48 $ cm².