Encadrer la longueur du troisième côté d’un triangle

Durée estimée

15 minutes

Difficulté

Le triangle $ ABC $ vérifie $ AB = 9 $ cm et $ AC = 4 $ cm. On cherche les longueurs possibles pour le côté $ [BC] $.

Écrire les deux inégalités triangulaires que doit vérifier la longueur $ BC $ pour que le triangle existe.
En déduire un encadrement de $ BC $ de la forme $ a < BC < b $ où $ a $ et $ b $ sont deux nombres entiers.
Le côté $ [BC] $ peut-il mesurer exactement $ 5 $ cm ? Justifier.
Donner toutes les longueurs entières (en cm) que peut prendre $ BC $.

Corrigé

Pour qu'un triangle existe, chaque côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres.

On applique l'inégalité triangulaire au plus grand côté possible.
1. Le côté $ [AB] $ doit être strictement inférieur à $ AC + BC $ :
  $ 9 < 4 + BC $, donc $ BC > 5 $.
2. Le côté $ [BC] $ doit être strictement inférieur à $ AB + AC $ :
  $ BC < 9 + 4 $, donc $ BC < 13 $.
(L'inégalité $ AC < AB + BC $ donne $ 4 < 9 + BC $, qui est toujours vraie : pas d'information supplémentaire.)
En combinant les deux inégalités précédentes, on obtient :

$ 5 < BC < 13 $.
Si $ BC = 5 $, alors $ AC + BC = 4 + 5 = 9 $ et $ AB = 9 $ : on aurait $ AB = AC + BC $.
Le triangle serait alors aplati (les trois points seraient alignés). Donc $ BC $ ne peut pas mesurer exactement $ 5 $ cm.
Les longueurs entières $ BC $ vérifiant $ 5 < BC < 13 $ sont :
$ 6 $, $ 7 $, $ 8 $, $ 9 $, $ 10 $, $ 11 $ et $ 12 $ cm.

Pour réviser : Vérifier qu'un triangle est constructible.