Calculer la valeur moyenne d’une fonction
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Calculer la valeur moyenne d'une fonction
La valeur moyenne de $ f $ sur $ [a\,;b] $ est :
- Étape 1 : Calculer l'intégrale $ \int_{a}^{b} f(x)\,\text{d}x $ en déterminant une primitive de $ f $.
- Étape 2 : Diviser le résultat par $ b - a $ (la longueur de l'intervalle).
Valeur moyenne d'un polynôme
Calculer la valeur moyenne de $ f(x) = 3x^2 - 6x + 5 $ sur $ [0\,;4] $.
Étape 1 : On calcule l'intégrale :
$ \int_{0}^{4} (3x^2 - 6x + 5)\,\text{d}x = \left[x^3 - 3x^2 + 5x\right]_{0}^{4} $
$ = 64 - 48 + 20 - 0 = 36 $
Étape 2 : On divise par $ b - a = 4 - 0 = 4 $ :
Valeur moyenne d'une exponentielle
Calculer la valeur moyenne de $ g(x) = e^{-x} $ sur $ [0\,;2] $.
Étape 1 : On calcule l'intégrale :
$ \int_{0}^{2} e^{-x}\,\text{d}x = \left[-e^{-x}\right]_{0}^{2} = -e^{-2} - (-e^{0}) = 1 - e^{-2} $
Étape 2 : On divise par $ b - a = 2 $ :
Remarque
Graphiquement, $ \mu $ est la hauteur du rectangle de base $ [a\,;b] $ dont l'aire est égale à $ \int_{a}^{b} f(x)\,\text{d}x $. La valeur moyenne représente donc la « hauteur constante équivalente » de la fonction sur l'intervalle.
Attention
Ne pas oublier de diviser par $ b - a $. Une erreur fréquente est de confondre l'intégrale $ \int_{a}^{b} f(x)\,\text{d}x $ avec la valeur moyenne : l'intégrale représente une aire, la valeur moyenne est cette aire divisée par la longueur de l'intervalle.