Matrices : Puissances et inverse

Durée estimée

15 minutes

Difficulté

Soit la matrice $ A=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $

Calculer $ A^{2} $, $ A^{3} $ et $ A^{4} $
On pose $ B=\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $ et $ I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $.

Montrer qu'il existe une valeur de $ a $ telle que $ A\times B=I $.

En déduire que $ A $ est inversible et déterminer $ A^{ - 1} $

Corrigé

$ A^{2}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $

$ A^{3}=A^{2}\times A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $

$ A^{4}=A^{3}\times A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $
$ A\times B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1 & a \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & a+1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $

On remarque que pour $ a= - 1 $, $ A\times B=I $.

On a donc :

$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1 & - 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=I $

On montre également, par un calcul direct, que :

$ \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=I $

Donc $ A $ est inversible et $\mathbf{A^{ - 1}=\begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$ (voir définition).