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Loi des grands nombres Exercices

Somme de variables aléatoires – indépendance

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

Une urne contient trois boules indiscernables numérotées de 1 à 3.
On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de cette urne.

On note :

  • $ X_1 $ le numéro de la première boule
  • $ X_2 $ le numéro de la seconde boule
  • $ Y=X_1+X_2 $
  1. Représenter cette expérience à l'aide d'un arbre pondéré.
  2. Donner, sous forme d'un tableau, la loi de probabilité de la variable aléatoire $ X_1 $.
  3. En utilisant l'arbre de la question 1., calculer $ p(X_2 =1), p(X_2 =2) $ et $ p(X_2 =3). $
  4. Que vaut $ p((X_1=1) \cap (X_2=2)) $ ?
    Les variables $ X_1 $ et $ X_2 $ sont-elles indépendantes ?
    1. À l'aide d'une phrase, décrire ce que représente la variable aléatoire $ Y $ dans le cadre de l'exercice.
    2. Déterminer l'espérance mathématique des variables aléatoires $ X_1, X_2 $ et $ Y $.
    1. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $ Y $.
    2. Retrouver l'espérance mathématique de $ Y $ obtenue à la question 5..
    1. Calculer les variances $ V(X_1), V(X_2) $ et $ V(Y) $.
    2. A-t-on $ V(Y) = V(X_1) + V(X_2)~? $

Corrigé

  1. Dans l'arbre ci-dessous les événements $ X_1=1, X_1=2, X_1=3 $ ont été représenté par $ \red1, \red2, \red3 $ et les événements $ X_2=1, X_2=2, X_2=3 $ par $ \blue1, \blue2, \blue3 $ :

    Arbre pondéré

  2. $ X_1 $ suit la loi représentée par le tableau :

    $ x_i $ 1 2 3
    $ p(X_1= x_i) $ $ \dfrac{ 1 }{ 3 } $ $ \dfrac{ 1 }{ 3 } $ $ \dfrac{ 1 }{ 3 } $
  3. D'après la formule des probabilités totales :

    $ \begin{aligned} p(X_2=1) &= p((X_1=2) \cap (X_2=1)) + p((X_1=3) \cap (X_2=1)) \\ \\ &= \dfrac{ 1 }{ 2 } \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + \dfrac{ 1 }{ 2 } \times \dfrac{ 1 }{ 3 } \\ \\ &= \dfrac{ 1 }{ 3 } \end{aligned} $
    Un calcul analogue donne $ p(X_2=2) = p(X_2=3) = \dfrac{ 1 }{ 3 } $
  4. D'après l'arbre on trouve que :

    $ p((X_1=1) \cap (X_2=2)) = \dfrac{ 1 }{ 3 } \times \dfrac{ 1 }{ 2 } = \dfrac{ 1 }{ 6} $

    tandis que :
    $ p(X_1=1) \times p(X_2=2) = \dfrac{ 1 }{ 3 } \times \dfrac{ 1 }{ 3 } = \dfrac{ 1 }{ 9} $

    Comme $ p((X_1=1) \cap (X_2=2)) \neq p(X_1=1) \times p(X_2=2) $ , les variables $ X_1 $ et $ X_2 $ ne sont pas indépendantes.
    1. La variable aléatoire $ Y $ représente la somme des nombres inscrits sur les deux boules.
    2. $ E(X_1) = 1 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 3 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } = 2 $

      De même :
      $ E(X_2) = 1 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 3 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } = 2 $

      Par conséquent :

      $ E(Y) = E(X_1)+E(X_2) = 2+2 = 4 $
      (la formule $ E(X_1 + X_2) = E(X_1)+E(X_2) $est valable même si les deux variables aléatoires ne sont pas indépendantes.)

    1. La variable aléatoire $ Y $ peut prendre les valeurs entières comprises entre $ 3 $ et $ 5 $.

      À l'aide de l'arbre et d'un raisonnement similaire à celui de la question 4., on obtient le tableau :

      $ y_i $ 3 4 5
      $ p(Y= y_i) $ $ \dfrac{ 1 }{ 3 } $ $ \dfrac{ 1 }{ 3 } $ $ \dfrac{ 1 }{ 3 } $
    2. On retrouve bien alors :

      $ E(Y) = 3 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 4 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 5 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } = 4 $
    1. D'après la formule de la variance :

      $ V(X_1) = E(X_1^2) - E(X_1)^2 $

      Or :
      $ E(X_1^2) = 1^2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 2^2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 3^2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } = \dfrac{ 14 }{ 3 } $

      par conséquent :

      $ V(X_1) = \dfrac{ 14 }{ 3 } - 2^2 = \dfrac{ 2 }{ 3 }. $

      Le calcul et le résultat sont identiques pour $ X_2 $ donc $ V(X_2) = \dfrac{ 2 }{ 3 }. $

      Pour $ Y $ on obtient :

      $ E(Y^2) = 3^2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 4^2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 5^2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } = \dfrac{ 50 }{ 3 } $

      et :

      $ V(Y) = \dfrac{ 50 }{ 3 } - 4^2 = \dfrac{ 2 }{ 3 } $
    2. On voit que $ V(Y) \neq V(X_1) + V(X_2) $, ce qui confirme le fait que $ X_1 $ et $ X_2 $ ne sont pas indépendantes.

→ Pour réviser : Déterminer la loi d'une somme de variables aléatoires