Déterminer la loi d’une somme de variables aléatoires
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Si $ X $ et $ Y $ sont deux variables aléatoires indépendantes, alors pour toute valeur $ s $ prise par $ X + Y $ :
Méthode
Pour déterminer la loi de probabilité de $ S = X + Y $ :
- Étape 1 : Lister toutes les valeurs possibles de $ X $ et de $ Y $ avec leurs probabilités.
- Étape 2 : Construire un tableau à double entrée avec les valeurs de $ X $ en colonnes et celles de $ Y $ en lignes. Dans chaque case, inscrire la somme $ x_i + y_j $.
- Étape 3 : Pour chaque valeur $ s $ prise par $ S $, additionner les probabilités de tous les couples $ (x_i, y_j) $ tels que $ x_i + y_j = s $.
- Étape 4 : Présenter la loi de $ S $ dans un tableau et vérifier que la somme des probabilités vaut $ 1 $.
Jeu avec une pièce et un dé
On lance une pièce équilibrée et un dé à 3 faces (numérotées 1, 2, 3) équilibré. La variable aléatoire $ X $ vaut 0 si la pièce tombe sur Pile et 1 si elle tombe sur Face. La variable aléatoire $ Y $ donne le résultat du dé. Les deux lancers sont indépendants. Déterminer la loi de $ S = X + Y $.
Étape 1 : Les lois de $ X $ et $ Y $ sont :
| $ x_i $ | 0 | 1 |
| $ p(X = x_i) $ | 0,5 | 0,5 |
| $ y_j $ | 1 | 2 | 3 |
| $ p(Y = y_j) $ | $ \dfrac{1}{3} $ | $ \dfrac{1}{3} $ | $ \dfrac{1}{3} $ |
Étape 2 : On construit le tableau des sommes :
| $ X \backslash Y $ | 1 | 2 | 3 |
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
Les valeurs possibles de $ S $ sont donc $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $ et $ 4 $.
Étape 3 : On calcule les probabilités. Les variables étant indépendantes :
$ p(S = 1) = p(X = 0) \times p(Y = 1) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} $
$ p(S = 2) = p(X = 0) \times p(Y = 2) + p(X = 1) \times p(Y = 1) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} $
$ p(S = 3) = p(X = 0) \times p(Y = 3) + p(X = 1) \times p(Y = 2) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} $
$ p(S = 4) = p(X = 1) \times p(Y = 3) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} $
Étape 4 : La loi de $ S $ est :
| $ s_k $ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| $ p(S = s_k) $ | $ \dfrac{1}{6} $ | $ \dfrac{1}{3} $ | $ \dfrac{1}{3} $ | $ \dfrac{1}{6} $ |
Vérification : $ \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = 1 $.
Gains cumulés à deux jeux
On considère deux jeux indépendants. Au premier jeu, on gagne $ 2 $ euros avec la probabilité $ 0{,}3 $ ou on perd $ 1 $ euro avec la probabilité $ 0{,}7 $. Au second jeu, on gagne $ 5 $ euros avec la probabilité $ 0{,}4 $ ou $ 0 $ euro avec la probabilité $ 0{,}6 $. On note $ X $ le gain au premier jeu et $ Y $ le gain au second jeu. Déterminer la loi de $ S = X + Y $.
Étape 1 : Les lois sont :
| $ x_i $ | $ -1 $ | $ 2 $ |
| $ p(X = x_i) $ | $ 0{,}7 $ | $ 0{,}3 $ |
| $ y_j $ | $ 0 $ | $ 5 $ |
| $ p(Y = y_j) $ | $ 0{,}6 $ | $ 0{,}4 $ |
Étape 2 : Tableau des sommes :
| $ X \backslash Y $ | 0 | 5 |
| $ -1 $ | $ -1 $ | $ 4 $ |
| $ 2 $ | $ 2 $ | $ 7 $ |
Les valeurs possibles de $ S $ sont $ -1 $, $ 2 $, $ 4 $ et $ 7 $.
Étape 3 : On calcule les probabilités :
$ p(S = -1) = 0{,}7 \times 0{,}6 = 0{,}42 $
$ p(S = 2) = 0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18 $
$ p(S = 4) = 0{,}7 \times 0{,}4 = 0{,}28 $
$ p(S = 7) = 0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}12 $
Étape 4 : La loi de $ S $ est :
| $ s_k $ | $ -1 $ | $ 2 $ | $ 4 $ | $ 7 $ |
| $ p(S = s_k) $ | $ 0{,}42 $ | $ 0{,}18 $ | $ 0{,}28 $ | $ 0{,}12 $ |
Vérification : $ 0{,}42 + 0{,}18 + 0{,}28 + 0{,}12 = 1 $.
Remarque
Lorsque des valeurs de $ S $ apparaissent plusieurs fois dans le tableau (comme $ S = 2 $ et $ S = 3 $ dans le premier exemple), il faut bien additionner les probabilités de tous les couples qui produisent cette même somme.
Attention
- Pour utiliser la formule $ p(X = x_i) \times p(Y = y_j) $, les variables $ X $ et $ Y $ doivent être indépendantes. Si elles ne le sont pas, il faut utiliser la formule générale avec $ p((X = x_i) \cap (Y = y_j)) $.
- Ne pas oublier de vérifier que la somme des probabilités vaut bien 1 : c'est un contrôle indispensable.