Moyenne et inégalité de concentration
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On effectue $ n $ tirages avec remise d'une boule d'une urne contenant 100 boules, dont 25 sont rouges et 75 sont bleues.
Pour le $ i $-ième tirage, on note $ Y_i $ la variable aléatoire valant 1 si la boule tirée est rouge et 0 sinon.
- Calculer l'espérance mathématique et la variance de $ Y_i $.
- Déterminer l'espérance mathématique et la variance de la moyenne $ M_n = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_i $.
- D'après l'inégalité de concentration, quel est le plus petit nombre de tirages $ n $ nécessaires pour que la probabilité que la moyenne $ M_n $ s'écarte de son espérance de plus de 0,1 soit inférieure à 0,05 ?
Corrigé
L'espérance mathématique de $ Y_i $ est donnée par :
$ E(Y_i) = 0 \times P(Y_i = 0) +1 \times P(Y_i = 1) = \dfrac{25}{100} = 0{,}25 $La variance de $ Y_i $ est calculée comme suit :
$ V(Y_i) = E(Y_i^2) - (E(Y_i))^2 $or :
$ E(Y_i^2) = 0^2 \times P(Y_i = 0) +1^2 \times P(Y_i = 1) = 0{,}25 $donc :
$ V(Y_i) = 0{,}25 - 0{,}25^2 = 0{,}1875 $L'espérance de $ M_n $ est :
$ E(M_n) = E \left( \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_i \right) = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(Y_i) = \dfrac{1}{n} \times n \times 0{,}25 = 0{,}25 $Si l'on considère que les tirages sont indépendants, la variance de $ M_n $ est :
$ V(M_n) = V \left( \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_i \right) = \dfrac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} V(Y_i) = \dfrac{1}{n^2} \times n \times 0{,}1875 = \dfrac{0{,}1875}{n} $Utilisons l'inégalité de concentration :
$ P(|M_n - E(M_n)| \geqslant 0{,}1) \leqslant \dfrac{V(M_n)}{0{,}1^2} $Nous voulons que cette probabilité soit inférieure à 0,05 :
$ \dfrac{V(M_n)}{0{,}01} \leqslant 0{,}05 $$ V(M_n) \leqslant 0{,}05 \times 0{,}01 = 0{,}0005 $Sachant que :
$ V(M_n) = \dfrac{0{,}1875}{n} $Nous devons avoir :
$ \dfrac{0{,}1875}{n} \leqslant 0{,}0005 $$ n \geqslant \dfrac{0{,}1875}{0{,}0005} = 375 $Donc, le nombre minimal de tirages $ n $ pour que la probabilité de s'écarter de l'espérance de plus de 0,1 soit inférieure à 0,05 est de 375.