Résoudre graphiquement une équation avec des valeurs absolues
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Pour résoudre graphiquement des équations du type $ \left|x - a\right|=b $, on utilise la propriété du cours qui dit que $ \left|x - a\right| $ représente la distance entre $ x $ et $ a $ (c'est à dire entre les points d'abscisses $ x $ et $ a $).
Exemple
Par exemple, soit l'équation $ \left|x - 2\right|=3 $.
On interprète ceci comme « la distance entre $ x $ et $ 2 $ est égale à $ 3 $ ».
On dessine alors le graphique suivant :
Sur le graphique on voit qu'il y a deux nombres situés à 3 unités du nombre 2 ; ce sont -1 et 5.
Donc :
$ S=\left\{ - 1; 5\right\} $
Variante 1
Pour une équation du type $ \left|x+a\right|=b $ on utilise le fait que $ x+a=x - \left( - a\right) $
Exemple
Par exemple l'équation $ \left|x+2\right|=3 $ est identique à $ \left|x - \left( - 2\right)\right|=3 $.
On applique alors la même méthode : la distance entre x et -2 est égale à 3 etc. (faites le graphique !) et on trouve :
$ S=\left\{ - 5; 1\right\} $
Variante 2
Pour une équation du type $ \left|mx+a\right|=b $ on met m en facteur puis on se ramène au cas précédent en divisant chaque membre par $ \left|m\right| $.
Exemple
Par exemple l'équation $ \left|2x - 1\right|=3 $ donne :
$ \left|2\left(x - \dfrac{1}{2}\right)\right|=3 $
$ \left|2\right|\times \left|x - \dfrac{1}{2}\right|=3 $ car $ \left|ab\right|=\left|a\right|\times \left|b\right| $
$ 2\times \left|x - \dfrac{1}{2}\right|=3 $
$ \left|x - \dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{3}{2} $ en divisant chaque membre par 2.
On est revenu au cas précédent et on obtient :
$ S=\left\{ - 1; 2\right\} $