Distances et valeur absolue

1. La distance entre deux nombres réels $ a $ et $ b $ est $ |a - b| $.

   1. $ |3 - (-5)| = |3 + 5| = |8| $ = $\mathbf{8}$
   2. $ |-2 - (-7)| = |-2 + 7| = |5| $ = $\mathbf{5}$
   3. $ |\sqrt{2} - (-\sqrt{2})| = |\sqrt{2} + \sqrt{2}| = |2\sqrt{2}| $ = $\mathbf{2\sqrt{2}}$
2. 1. $ 4 - 9 = -5 $ est négatif, donc $ |4 - 9| = -(- 5) $ = $\mathbf{5}$
   2. On a $ \sqrt{3} \approx 1{,}73 $, donc $ \sqrt{3} - 2 < 0 $.
      Ainsi $ |\sqrt{3} - 2| = -(\sqrt{3} - 2) = 2 - \sqrt{3} $.
      Le résultat est $\mathbf{2 - \sqrt{3}}$.
   3. On a $ \pi \approx 3{,}14 $, donc $ -\pi + 3 \approx -0{,}14 < 0 $.
      Ainsi $ |-\pi + 3| = -(- \pi + 3) = \pi - 3 $.
      Le résultat est $\mathbf{\pi - 3}$.

3. 1. L'équation $ |x - 3| = 5 $ signifie que la distance entre $ x $ et $ 3 $ est égale à $ 5 $.
      On a deux cas :
      $ x - 3 = 5 $, d'où $ x = 8 $
      $ x - 3 = -5 $, d'où $ x = -2 $
      L'ensemble des solutions est $\mathbf{\{-2~;~8\}}$.

      

   2. L'équation $ |x + 2| = 4 $ peut s'écrire $ |x - (-2)| = 4 $, donc la distance entre $ x $ et $ -2 $ est $ 4 $.
      $ x + 2 = 4 $, d'où $ x = 2 $
      $ x + 2 = -4 $, d'où $ x = -6 $
      L'ensemble des solutions est $\mathbf{\{-6~;~2\}}$.

      
   3. Une valeur absolue est toujours positive ou nulle. L'équation $ |x| = -1 $ n'a aucune solution.

4. 1. L'inéquation $ |x - 1| \leqslant 3 $ signifie que la distance entre $ x $ et $ 1 $ est inférieure ou égale à $ 3 $.
      On utilise la propriété : $ |x - a| \leqslant r $ équivaut à $ a - r \leqslant x \leqslant a + r $.
      Ici $ a = 1 $ et $ r = 3 $, donc $ 1 - 3 \leqslant x \leqslant 1 + 3 $, c'est-à-dire $ -2 \leqslant x \leqslant 4 $.
      L'ensemble des solutions est $\mathbf{\left[ -2~;~4 \right]}$.

      

   2. L'inéquation $ |x + 4| < 2 $ s'écrit $ |x - (-4)| < 2 $, donc la distance entre $ x $ et $ -4 $ est strictement inférieure à $ 2 $.
      On a $ -4 - 2 < x < -4 + 2 $, c'est-à-dire $ -6 < x < -2 $.
      L'ensemble des solutions est $\mathbf{\left] -6~;~-2 \right[}$.

      

→ Pour réviser : Résoudre graphiquement une inéquation avec valeurs absolues