Fonctions affines
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Les fonctions linéaires, étudiées au chapitre précédent, modélisent les situations de proportionnalité. Les fonctions affines les généralisent en ajoutant une constante : elles permettent de modéliser de nombreuses situations du quotidien (tarifs avec abonnement, conversions de températures, etc.).
1 - Définition et vocabulaire
Fonction affine
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels donnés.
On appelle fonction affine la fonction $f$ définie par :
Le nombre $a$ est le coefficient directeur et le nombre $b$ est l'ordonnée à l'origine.
Cas particuliers
- Si $b = 0$, on retrouve la fonction linéaire $f(x) = ax$ (chapitre précédent).
- Si $a = 0$, la fonction est constante : $f(x) = b$ pour tout $x$.
Les fonctions linéaires sont donc des cas particuliers de fonctions affines.
Exemple
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = -3x + 5$.
C'est une fonction affine avec $a = -3$ (coefficient directeur) et $b = 5$ (ordonnée à l'origine).
Calcul d'image : on calcule $f(4)$ :
$f(4) = -3 \times 4 + 5 = -12 + 5 = -7$
L'image de $4$ par $f$ est $-7$.
Calcul d'antécédent : on cherche $x$ tel que $f(x) = -1$ :
$-3x + 5 = -1$
$-3x = -1 - 5$
$-3x = -6$
$x = \dfrac{-6}{-3} = 2$
Le nombre $2$ est l'antécédent de $-1$ par $f$.
2 - Représentation graphique
Propriété
La représentation graphique d'une fonction affine $f : x \longmapsto ax + b$ est une droite.
Remarque
Le point $(0 ; b)$ appartient toujours à cette droite car $f(0) = a \times 0 + b = b$.
C'est le point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées, d'où le nom ordonnée à l'origine.
Pour tracer cette droite, il suffit de calculer les images de deux valeurs de $x$ pour obtenir deux points.
Appartenance d'un point à une droite
Soit $f : x \longmapsto ax + b$ une fonction affine et $(d)$ sa représentation graphique.
Un point $M(x_M ; y_M)$ appartient à la droite $(d)$ si et seulement si $y_M = ax_M + b$.
Exemple
On considère la fonction $f : x \longmapsto 3x - 2$.
Le point $A(2 ; 4)$ appartient-il à la droite représentant $f$ ?
On calcule $f(2) = 3 \times 2 - 2 = 4$. Comme $y_A = 4 = f(2)$, le point $A$ appartient bien à la droite.
Le point $B(1 ; 3)$ appartient-il à cette droite ?
On calcule $f(1) = 3 \times 1 - 2 = 1$. Or $y_B = 3 \neq 1$, donc le point $B$ n'appartient pas à la droite.
Parallélisme
La droite représentant la fonction affine $f : x \longmapsto ax + b$ est parallèle à la droite représentant la fonction linéaire $g : x \longmapsto ax$.
En effet, ces deux droites ont le même coefficient directeur $a$. La droite de $f$ s'obtient en « décalant » verticalement la droite de $g$ de $b$ unités.
Exemple
On veut tracer la représentation graphique de la fonction $f : x \longmapsto -2x + 1$.
- $f(0) = -2 \times 0 + 1 = 1$, donc la droite passe par le point $A(0 ; 1)$.
- $f(2) = -2 \times 2 + 1 = -3$, donc la droite passe par le point $B(2 ; -3)$.
On trace la droite passant par $A$ et $B$ :
3 - Coefficient directeur et sens de variation
Proportionnalité des accroissements
Soit $f : x \longmapsto ax + b$ une fonction affine.
Pour tous nombres réels $x_1$ et $x_2$, les accroissements de $x$ et de $f(x)$ sont proportionnels :
Le coefficient de proportionnalité est le coefficient directeur $a$.
Démonstration :
$f(x_2) - f(x_1) = (ax_2 + b) - (ax_1 + b) = ax_2 - ax_1 = a(x_2 - x_1)$
Théorème
Soit $f : x \longmapsto ax + b$ une fonction affine.
Pour tous nombres réels distincts $x_1$ et $x_2$, le coefficient directeur $a$ est donné par :
Remarque
Cette formule permet de retrouver le coefficient directeur $a$ à partir de deux valeurs connues de la fonction, par exemple lues sur un graphique ou données dans un énoncé.
Lire graphiquement le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine
À partir de la représentation graphique d'une fonction affine :
- L'ordonnée à l'origine $b$ se lit directement : c'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées (le point d'abscisse $0$).
- Le coefficient directeur $a$ se détermine en choisissant deux points $A$ et $B$ de la droite et en calculant : $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
En pratique, on repère sur le graphique de combien l'ordonnée varie quand l'abscisse augmente de $1$ : cette variation est égale à $a$.
Exemple
Sur le graphique de l'exemple précédent, la droite coupe l'axe des ordonnées au point $(0 ; 1)$, donc $b = 1$.
Pour trouver $a$, on utilise les points $A(0 ; 1)$ et $B(2 ; -3)$ :
$a = \dfrac{-3 - 1}{2 - 0} = \dfrac{-4}{2} = -2$
On retrouve bien $f(x) = -2x + 1$.
Exercice corrigé
Déterminer la fonction affine $f$ telle que $f(2) = 1$ et $f(5) = 7$.
La fonction $f$ est affine, donc de la forme $f(x) = ax + b$.
On calcule le coefficient directeur $a$ à l'aide de la formule :
$a = \dfrac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \dfrac{7 - 1}{3} = \dfrac{6}{3} = 2$
On a donc $f(x) = 2x + b$.
Pour trouver $b$, on utilise le fait que $f(2) = 1$ :
$2 \times 2 + b = 1$
$4 + b = 1$
$b = 1 - 4$
$b = -3$
Par conséquent, la fonction $f$ est définie par $f(x) = 2x - 3$.
Vérification : $f(5) = 2 \times 5 - 3 = 10 - 3 = 7$, ce qui est bien le résultat attendu.
Sens de variation
Soit $f : x \longmapsto ax + b$ une fonction affine.
- Si $a > 0$, la fonction $f$ est strictement croissante (la droite « monte »).
- Si $a < 0$, la fonction $f$ est strictement décroissante (la droite « descend »).
- Si $a = 0$, la fonction $f$ est constante (la droite est horizontale).
Exemple
La fonction $g : x \longmapsto 4x - 7$ a un coefficient directeur $a = 4 > 0$, donc $g$ est strictement croissante.
La fonction $h : x \longmapsto -0{,}5x + 3$ a un coefficient directeur $a = -0{,}5 < 0$, donc $h$ est strictement décroissante.
Les questions essentielles
1. Comment calculer l'image ou l'antécédent d'un nombre par une fonction affine ?
Pour calculer l'image, on remplace $x$ par le nombre dans l'expression $ax + b$. Pour trouver un antécédent, on résout l'équation $ax + b = k$.
Voir la fiche méthode : Calculer l'image ou l'antécédent par une fonction affine
2. Comment tracer la représentation graphique d'une fonction affine ?
On peut calculer les images de deux nombres pour obtenir deux points, ou utiliser l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur pour construire la droite directement.
Voir la fiche méthode : Tracer la représentation graphique d'une fonction affine
3. Comment déterminer l'expression d'une fonction affine ?
Graphiquement, on lit l'ordonnée à l'origine puis on calcule le coefficient directeur avec deux points. Par le calcul, on utilise la formule $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ puis on trouve $b$.
4. Comment comparer deux fonctions affines et trouver leur point d'intersection ?
On résout l'équation $f(x) = g(x)$ pour trouver le point d'intersection. Pour savoir quand $f(x) \geqslant g(x)$, on résout l'inéquation correspondante ou on lit graphiquement quelle droite est au-dessus.
Voir la fiche méthode : Comparer deux fonctions affines