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Suites et matrices Exercices

Suites et matrices – Bac S Pondichéry 2017 (spé)

Durée estimée
35 minutes
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Objectifs travaillés

(5 points) - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité On définit les suites $ \left(u_n\right) $ et $ \left(v_n\right) $ par :

$ u_0 = v_0 = 1 $

et, pour tout entier naturel $ n $ :

$ u_{n+1} = 2u_n+3v_n $

et $ v_{n+1} = 2u_n+v_n $

On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.

Partie A

Conjectures

Flore a calculé les premiers termes des suites à l'aide d'un tableur.

Une copie d'écran est donnée ci-dessous.

Bac S Pondichéry 2017 Spé Tableur 1
  1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des suites ?

  2. Soit $ n $ un entier naturel.

    Conjecturer la valeur de PGCD$ \left(u_n~;~v_n\right) $. Aucune justification n'est demandée.

  3. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Flore obtient les résultats suivants :

    Bac S Pondichéry 2017 Spé Tableur 2

    Elle émet la conjecture : « la suite $ \left(\dfrac{u_n}{v_n} \right) $ converge ».

    Qu'en penser ?

Partie B

Étude arithmétique

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $ n $, on a :

    $ 2u_n - 3v_n = (-1)^{n+1} $.

  2. Soit $ n $ un entier naturel.

    Déduire de la question précédente la valeur de PGCD$ \left(u_n~;~v_n\right) $.

Partie C

Étude matricielle Pour tout entier naturel $ n $, on définit :

  • $ X_n = \begin{pmatrix}u_n \\ v_n\end{pmatrix} $,
  • $ P = \begin{pmatrix} 1&3 \\ -1&2\end{pmatrix} $ et $ Q_n = \begin{pmatrix}(-1)^n&3 \times 2^{2n}\\(-1)^{n+1}&2^{2n+1}\end{pmatrix} $.
    1. Montrer que la matrice $ \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2& -3\\1&1\end{pmatrix} $ est l'inverse de $ P $.

    2. On admet que, pour tout entier naturel $ n $, on a $ X_n = Q_nP^{-1} X_0 $.

      Démontrer que, pour tout entier naturel $ n $, on a $ \left\{\begin{array}{l c l} u_n&=&\dfrac{(-1)^{n+1}+ 3\times 2^{2n+1}}{5} \\ \\ v_n&=&\dfrac{(-1)^{n}+ 2^{2n+2}}{5} \end{array}\right. $

    1. Vérifier que, pour tout entier naturel $ n $, on a $ \dfrac{u_n}{v_n}= \dfrac{\dfrac{(-1)^{n+1}}{2^{2n+1}}+ 3}{\dfrac{(-1)^{n}}{2^{2n+1}}+ 2} $.
    2. En déduire la limite de la suite $ \left(\dfrac{u_n}{v_n} \right) $.

Corrigé

Partie A

  1. Les formules à saisir sont :
  2. Dans la cellule B3 : =2*B2+3*C2
  3. Dans la cellule C3 : =2*B2+C2
  4. Au vu des premiers termes, on peut conjecturer que $ \text{PGCD}(u_n~;~v_n) = 1 $ pour tout entier naturel $ n $.

  5. Le tableau montre que pour

    $ n=13 $, $ \dfrac{u_{13}}{v_{13}} \approx 1{,}5000000 $.

    La suite $ \left(\dfrac{u_{n}}{v_{n}}\right) $ semble effectivement converger vers $ 1{,}5 $ (ou $ \dfrac{3}{2} $).

Partie B

  1. Soit $ \mathcal{P}_n $ la propriété : $ 2u_n - 3v_n = (-1)^{n+1} $.

    Initialisation :
    Pour $ n = 0 $ : $ 2u_0 - 3v_0 = 2(1) - 3(1) = -1 $ et $ (-1)^{0+1} = -1 $.
    La propriété est vraie au rang $ 0 $.

    Hérédité :
    Supposons que pour un entier $ n \geqslant 0 $, $ 2u_n - 3v_n = (-1)^{n+1} $.
    Calculons $ 2u_{n+1} - 3v_{n+1} $ :
    $ 2u_{n+1} - 3v_{n+1} = 2(2u_n + 3v_n) - 3(2u_n + v_n) $
    $ 2u_{n+1} - 3v_{n+1} = 4u_n + 6v_n - 6u_n - 3v_n $
    $ 2u_{n+1} - 3v_{n+1} = -2u_n + 3v_n $
    $ 2u_{n+1} - 3v_{n+1} = -(2u_n - 3v_n) $
    D'après l'hypothèse de récurrence :
    $ 2u_{n+1} - 3v_{n+1} = -(-1)^{n+1} = (-1)^{n+2} $.
    La propriété est donc vraie au rang $ n+1 $.

    Conclusion :
    La propriété est vraie pour $ n=0 $ et est héréditaire, donc pour tout entier naturel $ n $, $ 2u_n - 3v_n = (-1)^{n+1} $.

  2. D'après la question précédente, on a la relation de Bézout :
    $ 2u_n - 3v_n = \pm 1 $
    Cela implique que $ 1 $ est une combinaison linéaire entière de $ u_n $ et $ v_n $.
    D'après le théorème de Bézout, $ u_n $ et $ v_n $ sont premiers entre eux.
    Ainsi, PGCD$ (u_n~;~v_n) = 1 $ .

Partie C

    1. Nommons

      $ M = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2& -3\\1&1\end{pmatrix} $.

      Calculons $ M \times P $ :

      $ M \times P = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2 & -3 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 3 \\ -1 & 2\end{pmatrix} = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2(1)+(-3)(-1) & 2(3)+(-3)(2) \\ 1(1)+1(-1) & 1(3)+1(2)\end{pmatrix} $

      $ M \times P = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}5 & 0 \\ 0 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I_2 $

      Donc la matrice donnée est bien l'inverse de $ P $.

    2. On a $ X_n = Q_n P^{-1} X_0 $. Or

      $ X_0 = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} $.

      Calculons $ P^{-1} X_0 $ :

      $ P^{-1} X_0 = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2 & -3 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} = \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix} $

      Maintenant calculons $ X_n = Q_n \begin{pmatrix}-1/5 \\ 2/5\end{pmatrix} $ :

      $ X_n = \begin{pmatrix}(-1)^n & 3 \times 2^{2n} \\ (-1)^{n+1} & 2^{2n+1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1/5 \\ 2/5\end{pmatrix} $

      $ u_n = (-1)^n \times \left(-\dfrac{1}{5}\right) + (3 \times 2^{2n}) \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{-(-1)^n + 3 \times 2^{2n+1}}{5} = \dfrac{(-1)^{n+1} + 3 \times 2^{2n+1}}{5} $

      $ v_n = (-1)^{n+1} \times \left(-\dfrac{1}{5}\right) + (2^{2n+1}) \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{-(-1)^{n+1} + 2^{2n+2}}{5} = \dfrac{(-1)^{n} + 2^{2n+2}}{5} $

      On retrouve bien les expressions demandées.

    1. En partant de l'expression de $ u_n $ et $ v_n $ et en factorisant par $ 2^{2n+1} $ :

      $ \dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{\dfrac{(-1)^{n+1} + 3 \times 2^{2n+1}}{5}}{\dfrac{(-1)^{n} + 2^{2n+2}}{5}} = \dfrac{(-1)^{n+1} + 3 \times 2^{2n+1}}{(-1)^{n} + 2 \times 2^{2n+1}} $

      En divisant le numérateur et le dénominateur par $ 2^{2n+1} $, on obtient:

      $ \dfrac{u_{n}}{v_{n}} = \dfrac{\dfrac{(-1)^{n+1}}{2^{2n+1}} + 3}{\dfrac{(-1)^{n}}{2^{2n+1}} + 2} $

    2. Les numérateurs $ (-1)^{n+1} $ et $ (-1)^{n} $ sont bornés (ils valent $ \pm 1 $), tandis que le dénominateur $ 2^{2n+1} $ tend vers $ +\infty $. Le quotient d'une quantité bornée par une quantité qui tend vers $ +\infty $ tend vers $ 0 $, donc
      $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{2^{2n+1}} = 0 $ et $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{2^{2n+1}} = 0 $.

      Par quotient des limites :

      $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{0+3}{0+2} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5 $

      Ceci confirme la conjecture de la partie A.