Équations de droites
Exercices
Droites perpendiculaires
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Le plan est muni d'un repère orthonormé. Soient $ (D) $ et $ (D^{\prime}) $ deux droites d'équations réduites respectives $ y=ax+b $ et $ y=a^{\prime}x+b^{\prime} $ avec $ a \neq a^{\prime} $.
- Expliquer pourquoi les droites $ (D) $ et $ (D^{\prime}) $ sont sécantes.
- On note $ A(\alpha ; \beta) $ le point d'intersection de $ (D) $ et $ (D^{\prime}) $ et $ M $ le point de la droite $ (D) $ d'abscisse $ \alpha + 1 $.
Déterminer l'ordonnée de $ M $ en fonction de $ a $ et de $ \beta $. - Soit $ M^{\prime} $ le point de la droite $ (D^{\prime}) $ d'abscisse $ \alpha + 1 $.
Déterminer l'ordonnée de $ M^{\prime} $ en fonction de $ a^{\prime} $ et de $ \beta $ - Calculer, en fonction de $ a $ et de $ a^{\prime} $ les longueurs $ AM,\ AM^{\prime} $ et $ MM^{\prime} $.
- À quelle condition portant sur $ a $ et $ a^{\prime} $ les droites $ (D) $ et $ (D^{\prime}) $ sont-elles perpendiculaires ?
Corrigé
- Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Ici, $ (D) $ et $ (D^{\prime}) $ ont des coefficients directeurs $ a $ et $ a^{\prime} $ différents, donc les droites $ (D) $ et $ (D^{\prime}) $ sont sécantes. - Remarque préalable : Le point $ A(\alpha ; \beta) $ appartient à $ (D) $ et à $ (D^{\prime}) $, par conséquent, ses coordonnées vérifient les équations de $ (D) $ et de $ (D^{\prime}) $ c'est à dire :
$ \beta = a \alpha + b $
$ \beta = a^{\prime} \alpha + b^{\prime} $
Notons $ (x_M~;~y_M) $ les coordonnées de M. Comme $ M $ appartient à $ (D) $ :
$ y_M = a x_M + b $
Or, d'après l'énoncé $ x_M = \alpha + 1 $, donc :
$ y_M = a ( \alpha + 1 ) + b = a \alpha + a + b = \beta + a $
puisque d'après la remarque préalable $ \beta = a \alpha + b $. - Un calcul analogue à celui de la question 2. conduit à :
$ y_{M^{\prime}} = \beta + a^{\prime} $ - On utilise la formule : $ AM = \sqrt{ (x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2 } $
$ AM = \sqrt{ (\alpha + 1 - \alpha)^2 + (\beta + a - \beta )^2 }= \sqrt{ 1 + a^2 } $
$ AM^{\prime} = \sqrt{ (\alpha + 1 - \alpha)^2 + (\beta + a^{\prime} - \beta )^2 } = \sqrt{ 1 + {a ^{\prime}} ^2 } $
$ MM^{\prime} = \sqrt{ (\alpha + 1 - \alpha - 1)^2 + (\beta + a - \beta - a^{\prime} )^2 } = \sqrt{ (a - {a ^{\prime}}) ^2 } $ - Les droites $ (D) $ et $ (D^{\prime}) $ sont perpendiculaires si et seulement si le triangle $ AMM^{\prime} $ est rectangle en $ A $ c'est à dire, d'après le théorème de Pythagore et sa réciproque si et seulement si :
$ {MM^{\prime}}^2 = {AM}^2 + {AM^{\prime}}^2 $
$ \Leftrightarrow (a - a^{\prime})^2 = 1+a^2 + 1+ {a^{\prime}}^2 $
$ \Leftrightarrow a^2 - 2aa^{\prime}+ {a^{\prime}}^2 = 1+a^2 + 1+ {a^{\prime}}^2 $
$ \Leftrightarrow - 2aa^{\prime} = 2 $
$ \Leftrightarrow aa^{\prime} = - 1 $
Les droites $ (D) $ et $ (D^{\prime}) $ sont perpendiculaires si et seulement si $ aa^{\prime} = - 1 $.
Pour réviser : Déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes