Limite avec paramètre

Durée estimée

15 minutes

Difficulté

$ m $ est un réel positif ou nul.

Discuter, suivant les valeurs de $ m $, l'existence et la valeur de

$ \lim\limits_{x \rightarrow 0 } \dfrac{ \sqrt{x^2+m} - 1 }{x} $

Si nécessaire, on distinguera les limites à gauche et à droite.

Corrigé

Soit $ f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2+m}-1}{x} $ pour $ x \neq 0 $.

Cas $ m < 1 $ :

Lorsque $ x \to 0 $, le numérateur tend vers $ \sqrt{m}-1 $. Comme $ m < 1 $, $ \sqrt{m}-1 < 0 $.
Le dénominateur tend vers $ 0 $.

$ \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = -\infty $

$ \lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = +\infty $
Cas $ m = 1 $ :

On a $ f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2+1}-1}{x} $.
Lorsque $ x \to 0 $, on obtient une forme indéterminée $ \dfrac{0}{0} $.

Pour lever l'indétermination, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée $ \sqrt{x^2+1}+1 $ :

$ f(x) = \dfrac{(\sqrt{x^2+1}-1)(\sqrt{x^2+1}+1)}{x(\sqrt{x^2+1}+1)} = \dfrac{x^2+1-1}{x(\sqrt{x^2+1}+1)} = \dfrac{x^2}{x(\sqrt{x^2+1}+1)} $

$ f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}+1} $

Lorsque $ x \to 0 $, le numérateur tend vers $ 0 $ et le dénominateur tend vers $ 2 $.

D'où :

$ \lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0 $
Cas $ m > 1 $ :

Lorsque $ x \to 0 $, le numérateur tend vers $ \sqrt{m}-1 $. Comme $ m > 1 $, $ \sqrt{m}-1 > 0 $.
Le dénominateur tend vers $ 0 $.

$ \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = +\infty $

$ \lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = -\infty $