Nombres complexes et probabilités
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Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $ (O ; \vec{u} , \vec{v} ) $.
Une urne contient trois boules indiscernables au toucher marquées $ 1, 2, 3 $. Une épreuve consiste à prélever une première boule de l'urne dont le numéro sera noté $ a $ puis, sans la remettre dans l'urne, une seconde boule dont le numéro sera noté $ b $.
Au résultat $ (a ; b) $ du tirage, on associe l'application du plan complexe dans lui-même qui à tout point $ M $ d'affixe $ z $ fait correspondre le point $ M^\prime $ d'affixe $ z^\prime $ tel que $ z^\prime= \alpha z $ avec $ \alpha = \dfrac{a}{2} e^{ib \frac{ \pi }{3} } $.
Quels sont les résultats $ (a ; b) $ possibles ? Quelles sont les valeurs de $ \alpha $ correspondantes ?
Soit $ A $ le point d'affixe $ z_0= \sqrt{3} + i $ et $ A^\prime $ le point d'affixe $ z_0^\prime = \alpha z_0 $ image de $ A $ par l'application associée au résultat d'une épreuve. Calculer le module et l' argument de $ z_0 $ et ceux de $ z^\prime_0 $ suivant les valeurs de $ (a ; b) $.
Calculer la probabilité de l'événement $ E_1 $ : $ O, A $ et $ A^\prime $ sont alignés puis celle de l'événement $ E_2 $ : $ z^\prime_0 $ est un imaginaire pur.
Soit $ X $ la variable aléatoire qui, à chaque épreuve, associe le module de $ z^\prime_0 $. Donner la loi de probabilité de $ X $ et calculer son espérance.
Corrigé
Les résultats $(a ; b)$ possibles et les valeurs de $\alpha$ correspondantes sont données dans le tableau ci-dessous :
$(a ; b)$ $(1 ; 2)$ $(1 ; 3)$ $(2 ; 1)$ $(2 ; 3)$ $(3 ; 1)$ $(3 ; 2)$ $\alpha$ $\dfrac{1}{2}e^{i \frac{2\pi}{3}}$ $\dfrac{1}{2}e^{i\pi}$ $e^{i \frac{\pi}{3}}$ $e^{i\pi}$ $\dfrac{3}{2}e^{i \frac{\pi}{3}}$ $\dfrac{3}{2}e^{i \frac{2\pi}{3}}$ $z'_0 = \alpha z_0$ $e^{i \frac{5\pi}{6}}$ $e^{i \frac{7\pi}{6}}$ $2e^{i \frac{\pi}{2}}$ $2e^{i \frac{7\pi}{6}}$ $3e^{i \frac{\pi}{2}}$ $3e^{i \frac{5\pi}{6}}$ $\lvert z'_0 \rvert$ $1$ $1$ $2$ $2$ $3$ $3$ $\arg(z'_0)$ $\dfrac{5\pi}{6}$ $\dfrac{7\pi}{6}$ $\dfrac{\pi}{2}$ $\dfrac{7\pi}{6}$ $\dfrac{\pi}{2}$ $\dfrac{5\pi}{6}$ $X$ $1$ $1$ $2$ $2$ $3$ $3$ (Le calcul de $z_0$ est fait à la question suivante).
La loi de la variable aléatoire $X$ est donnée par le tableau suivant :
$x_i$ $1$ $2$ $3$ $p(X=x_i)$ $\dfrac{1}{3}$ $\dfrac{1}{3}$ $\dfrac{1}{3}$ Soit $A$ le point d'affixe $z_0 = \sqrt{3} + i$. Sous la forme exponentielle, $z_0$ s'écrit : $z_0 = r e^{i\theta}$ avec :
$r = |z_0| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$$\cos(\theta) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin(\theta) = \dfrac{1}{2}$, soit $\arg(z_0) = \theta = \dfrac{\pi}{6}$ modulo $(2\pi)$.
D'où :
$ z_0 = 2e^{i \frac{\pi}{6}} $Soit $A'$ le point d'affixe $z'_0 = \alpha z_0$. Les notations exponentielles, les modules et les arguments de $z'_0$ suivant les valeurs de $(a ; b)$ sont donnés dans le tableau ci-dessus.
$O, A$ et $A'$ sont alignés si $\arg(z'_0) = \arg(z_0) + k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$, soit :
$ \arg(z'_0) = \arg(z_0) + k\pi = \theta + k\pi = \dfrac{\pi}{6} + k\pi $Dans le tableau ceci se vérifie pour $\arg(z'_0) = \dfrac{7\pi}{6}$ ($k = 1$), et correspond à deux événements possibles : $(1 ; 3)$ et $(2 ; 3)$.
On a donc $p(E_1) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.$z'_0$ est un imaginaire pur pour : $\arg(z'_0) = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$.
Dans le tableau ceci correspond à deux événements possibles : $(2 ; 1)$ et $(3 ; 1)$.
On a donc $p(E_2) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.La loi de probabilité de $X$ est donnée dans le tableau de la question 1.
Son espérance mathématique est :$ E(X) = 1 \cdot \dfrac{1}{3} + 2 \cdot \dfrac{1}{3} + 3 \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{6}{3} = 2 $
→ Pour réviser : Calculer le module et un argument d'un nombre complexe