Représentation paramétrique et tétraèdre

1. Les coordonnées des points $ A, B, C $ et $ D $ dans le repère $ (A; \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}) $ sont : $ A(0;0;0) $, $ B(1 ; 0; 0 ) $, $ C (0;1;0) $ et $ D (0;0;1) $.
   
   Notons $ (x;y;z) $ les coordonnées du point $ I $. Les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{IA}, \overrightarrow{IB} $ et $ \overrightarrow{IC} $ sont alors $ \overrightarrow{IA}\begin{pmatrix} - x \\ - y \\ - z \end{pmatrix} $, $ \overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} 1 - x \\ - y \\ - z \end{pmatrix} $ et $ \overrightarrow{IC}\begin{pmatrix} - x \\ 1 - y \\ - z \end{pmatrix} $.
   
   La somme $ \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} $ a donc pour coordonnées $ \begin{pmatrix} 1 - 3x \\ 1 - 3y \\ - 3z \end{pmatrix} $.
   
   Puisque $ I $ est le centre de gravité du triangle $ ABC $, la somme $ \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} $ est nulle par conséquent :
   
   $ \begin{cases} 1 - 3x=0 \\ 1 - 3y=0 \\ - 3z=0 \end{cases} $
   
   c'est à dire :
   
   $ \begin{cases} x=1/3 \\ y=1/3 \\ z=0 \end{cases} $.
   
   Le point $ I $ a donc pour coordonnées $ I \left(\dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{3} ; 0 \right) $
   
   Un raisonnement analogue pour le point $ J $ permet de trouver les coordonnées $ J \left(\dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{3} \right) $.
2. 1. Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AD} $ sont $ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $.
      
      D'après la question précédente les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{IJ} $ sont $ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \dfrac{1}{3} \end{pmatrix} $.
      
      On a donc $ \overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD} $.
      
      Les vecteurs $ \overrightarrow{IJ} $ et $ \overrightarrow{AD} $ sont donc colinéaires.
   2. Les vecteurs $ \overrightarrow{IJ} $ et $ \overrightarrow{AD} $ étant colinéaires, les droites $ (IJ) $ et $ (AD) $ sont parallèles. Deux droites parallèles étant coplanaires, les points $ A,~ D,~ I $ et $ J $ sont coplanaires.
   3. Les droites $ (AJ) $ et $ (DI) $ sont coplanaires ; de plus, ce sont les diagonales du trapèze $ AIJD $ donc elles sont sécantes.
3. 1. La droite $ (AJ) $ passe par le point $ A(0;0;0) $ et est dirigée par le vecteur $ \overrightarrow{AJ}\begin{pmatrix} 1/3 \\ 1/3 \\1/3 \end{pmatrix} $.
      
      Pour simplifier les calculs, on peut aussi dire que $ 3\overrightarrow{AJ}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix} $ est un vecteur directeur de $ (AJ) $ (cela évite les calculs fractionnaires ! )
      
      Une représentation paramétrique de la droite $ (AJ) $ est donc :
      
      $ \begin{cases} x=t \\ y=t \\ z=t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} $
      
      De même, la droite $ (DI) $ passe par le point $ D(0;0;1) $ et est dirigée par le vecteur $ 3\overrightarrow{DI} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ - 3 \end{pmatrix} $.
      
      Une représentation paramétrique de la droite $ (DI) $ est :
      
      $ \begin{cases} x=t^{\prime} \\ y=t^{\prime} \\ z=1 - 3t^{\prime} \end{cases} \quad t^{\prime} \in \mathbb{R} $
   2. Les droites $ (AJ) $ et $ (DI) $ sont sécantes si et seulement s'il existe deux réels $ t $ et $ t^{\prime} $ tels que :
      
      $ (S) \quad \begin{cases} t=t^{\prime} \\ t=t^{\prime} \\ t=1 - 3t^{\prime} \end{cases} $
      
      Ce système est équivalent à
      
      $ (S) \Leftrightarrow \begin{cases} t=t^{\prime} \\ t=1 - 3t \end{cases} $
      
      $ \phantom{(S)} \Leftrightarrow \begin{cases} t=\dfrac{1}{4} \\ \\ t^{\prime}=\dfrac{1}{4} \end{cases} $
      
      Le système $ (S) $ ayant une unique solution, les droites $ (AJ) $ et $ (DI) $ sont sécantes. Les coordonnées de leur point d'intersection sont :
      
      $ \begin{cases} x=t=1/4 \\ y=t=1/4 \\ z=t=1/4 \end{cases} $
      
      Les droites $ (AJ) $ et $ (DI) $ sont sécantes au point $ E\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4}\right) $

Pour réviser : Déterminer une représentation paramétrique d'une droite