Géométrie analytique – Bac S Centres étrangers 2009

Figure

Nature des triangles

Calculons les longueurs des côtés des triangles OAC et OBC dans le repère orthonormal.
$ \overrightarrow{OA}(3; 4; 0) $, donc $ OA = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5 $
$ \overrightarrow{OC}(0; 0; 5) $, donc $ OC = \sqrt{0^2 + 0^2 + 5^2} = 5 $
Le produit scalaire $ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = 3 \times 0 + 4 \times 0 + 0 \times 5 = 0 $.
Les vecteurs sont orthogonaux, donc le triangle OAC est rectangle en O.
Comme $ OA = OC = 5 $, le triangle OAC est rectangle et isocèle en O.

De même pour OBC :
$ \overrightarrow{OB}(0; 5; 0) $, donc $ OB = 5 $
$ \overrightarrow{OC}(0; 0; 5) $, donc $ OC = 5 $
$ \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = 0 \times 0 + 5 \times 0 + 0 \times 5 = 0 $.
Le triangle OBC est donc rectangle et isocèle en O.

Pour la nature du triangle ABC, calculons les longueurs de ses côtés :
$ AC = \sqrt{(0-3)^2 + (0-4)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} $
$ BC = \sqrt{(0-0)^2 + (0-5)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{0 + 25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} $
$ AB = \sqrt{(0-3)^2 + (5-4)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9 + 1 + 0} = \sqrt{10} $
Comme $ AC = BC $, le triangle ABC est isocèle en C.

1. Alignement de H, C, I

   I est le milieu de [AB], ses coordonnées sont :

   $ I \left( \dfrac{3+0}{2} ; \dfrac{4+5}{2} ; \dfrac{0+0}{2} \right) $, soit $ I(1{,}5 ; 4{,}5 ; 0) $

   Calculons les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{CI} $ et $ \overrightarrow{CH} $ :

   $ \overrightarrow{CI}(1{,}5 - 0 ; 4{,}5 - 0 ; 0 - 5) $, soit $ \overrightarrow{CI}(1{,}5 ; 4{,}5 ; -5) $

   $ \overrightarrow{CH} \left( \dfrac{15}{19} - 0 ; \dfrac{45}{19} - 0 ; \dfrac{45}{19} - 5 \right) $, soit $ \overrightarrow{CH} \left( \dfrac{15}{19} ; \dfrac{45}{19} ; -\dfrac{50}{19} \right) $

   On remarque que $ \overrightarrow{CH} = \dfrac{10}{19} \overrightarrow{CI} $.

   Les vecteurs sont colinéaires et ont le point C en commun, donc les points H, C et I sont alignés.

2. H projeté orthogonal de O sur (ABC)

   Pour démontrer que H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC), il faut vérifier que le vecteur $ \overrightarrow{OH} \left( \dfrac{15}{19} ; \dfrac{45}{19} ; \dfrac{45}{19} \right) $ est normal au plan (ABC).

   Vérifions l'orthogonalité avec deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{CI} $ :
   $ \overrightarrow{AB}(-3 ; 1 ; 0) $

   $ \overrightarrow{OH} \cdot \overrightarrow{AB} = \dfrac{15}{19} \times (-3) + \dfrac{45}{19} \times 1 + \dfrac{45}{19} \times 0 = -\dfrac{45}{19} + \dfrac{45}{19} = 0 $

   $ \overrightarrow{OH} \cdot \overrightarrow{CI} = \dfrac{15}{19} \times 1{,}5 + \dfrac{45}{19} \times 4{,}5 + \dfrac{45}{19} \times (-5) $

   $ \quad = \dfrac{22{,}5 + 202{,}5 - 225}{19} = 0 $

   Le vecteur $ \overrightarrow{OH} $ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC).
   De plus, comme H est sur la droite (CI) et que C et I appartiennent au plan (ABC), alors H appartient au plan (ABC).
   H est donc bien le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC).

3. Équation du plan ABC

   Le vecteur $ \overrightarrow{OH} $ est normal au plan. On peut utiliser un vecteur normal proportionnel pour simplifier les calculs : $ \vec{n}(1 ; 3 ; 3) $.
   L'équation du plan est de la forme $ x + 3y + 3z + d = 0 $.
   Comme C(0 ; 0 ; 5) appartient au plan :
   $ 0 + 3(0) + 3(5) + d = 0 $, soit $ 15 + d = 0 $, d'où $ d = -15 $.
   L'équation cartésienne du plan ABC est :

   $ x + 3y + 3z - 15 = 0 $

1. Calcul d'aire et de volume

   Les points $ O $, $ A $ et $ B $ sont dans le plan $ z = 0 $. On calcule l'aire du triangle $ OAB $ à l'aide du produit vectoriel :
   $ \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \times 5 - 4 \times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix} $

   $ \text{Aire}(OAB) = \dfrac{1}{2} ||\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}|| = \dfrac{1}{2} \times 15 = 7{,}5 \text{ unités d'aire} $

   Le volume du tétraèdre OABC est donné par :

   $ V = \dfrac{1}{3} \times \text{Aire}(OAB) \times OC = \dfrac{1}{3} \times 7{,}5 \times 5 = 12{,}5 \text{ unités de volume} $.

   $ V = 12{,}5 $

2. Distance de O au plan (ABC)

   La distance de O au plan (ABC) est la longueur OH.

   $ OH = \sqrt{\left(\dfrac{15}{19}\right)^2 + \left(\dfrac{45}{19}\right)^2 + \left(\dfrac{45}{19}\right)^2} = \dfrac{1}{19}\sqrt{225 + 2025 + 2025} = \dfrac{\sqrt{4275}}{19} = \dfrac{15\sqrt{19}}{19} = \dfrac{15}{\sqrt{19}} $.

   $ d(O, (ABC)) = \dfrac{15}{\sqrt{19}} $

3. Aire du triangle ABC

   En utilisant la formule du volume $ V = \dfrac{1}{3} \times \text{Aire}(ABC) \times d(O, (ABC)) $ :

   $ 12{,}5 = \dfrac{1}{3} \times \text{Aire}(ABC) \times \dfrac{15}{\sqrt{19}} $

   $ \text{Aire}(ABC) = \dfrac{12{,}5 \times 3 \times \sqrt{19}}{15} = \dfrac{37{,}5\sqrt{19}}{15} = 2{,}5\sqrt{19} $.

   $ \text{Aire}(ABC) = \dfrac{5\sqrt{19}}{2} $