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Orthogonalité et produit scalaire dans l'espace Exercices

QCM Géométrie dans l’espace – Bac S Antilles Guyane 2013

Durée estimée
15 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

Description de la figure dans l'espace muni du repère orthonormé $ \left(A ; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right) $ :

$ ABCDEFGH $ désigne un cube de côté 1.

On appelle $ \mathscr P $ le plan $ \left(AFH\right) $.
Le point $ I $ est le milieu du segment $ \left[AE\right] $.
Le point $ J $ est le milieu du segment $ \left[BC\right] $.
Le point $ K $ est le milieu du segment $ \left[HF\right] $.
Le point $ L $ est le point d'intersection de la droite $ \left(EC\right) $ et du plan $ \mathscr P $.

Géométrie dans l'espace - Bac S Antilles Guyane 2013

*Ceci est un questionnaire à choix multiples (QCM). *

Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte aucun point.

    1. Les droites $ \left(IJ\right) $ et $ \left(EC\right) $ sont strictement parallèles.
    2. Les droites $ \left(IJ\right) $ et $ \left(EC\right) $ sont non coplanaires.
    3. Les droites $ \left(IJ\right) $ et $ \left(EC\right) $ sont sécantes.
    4. Les droites $ \left(IJ\right) $ et $ \left(EC\right) $ sont confondues
    1. Le produit scalaire $ \overrightarrow{AF}.\overrightarrow{BG} $ est égal à $ 0 $.
    2. Le produit scalaire $ \overrightarrow{AF}.\overrightarrow{BG} $ est égal à $ \left( - 1\right) $.
    3. Le produit scalaire $ \overrightarrow{AF}.\overrightarrow{BG} $ est égal à $ 1 $.
    4. Le produit scalaire $ \overrightarrow{AF}.\overrightarrow{BG} $ est égal à $ 2 $

  3. Dans le repère orthonormé $ \left(A ; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right) $,

    1. le plan $ \mathscr P $ a pour équation cartésienne : $ x+y+z - 1=0 $.
    2. le plan $ \mathscr P $ a pour équation cartésienne : $ x - y+z=0 $.
    3. le plan $ \mathscr P $ a pour équation cartésienne : $ - x+y+z=0 $.
    4. le plan $ \mathscr P $ a pour équation cartésienne : $ x+y - z=0 $
    1. $ \overrightarrow{EG} $ est un vecteur normal au plan $ \mathscr P $.
    2. $ \overrightarrow{EL} $ est un vecteur normal au plan $ \mathscr P $.
    3. $ \overrightarrow{IJ} $ est un vecteur normal au plan $ \mathscr P $.
    4. $ \overrightarrow{DI} $ est un vecteur normal au plan $ \mathscr P $
    1. $ \overrightarrow{AL}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AH}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AF} $.
    2. $ \overrightarrow{AL}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AK} $.
    3. $ \overrightarrow{ID}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{IJ} $.
    4. $ \overrightarrow{AL}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\dfrac{2}{3} \overrightarrow{AE} $

Corrigé

Dans le repère orthonormé $ \left(A ; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right) $, les coordonnées des sommets du cube sont :
$ A(0 ; 0 ; 0) $, $ B(1 ; 0 ; 0) $, $ D(0 ; 1 ; 0) $, $ E(0 ; 0 ; 1) $, $ C(1 ; 1 ; 0) $, $ F(1 ; 0 ; 1) $, $ G(1 ; 1 ; 1) $ et $ H(0 ; 1 ; 1) $.

  1. Les points $ I $ et $ J $ sont les milieux respectifs de $ [AE] $ et $ [BC] $.
    Leurs coordonnées sont alors :
    $ I\left(0 ; 0 ; \dfrac{1}{2}\right) $ et $ J\left(1 ; \dfrac{1}{2} ; 0\right) $.
    Le vecteur $ \overrightarrow{IJ} $ a pour coordonnées $ \left(1 ; \dfrac{1}{2} ; -\dfrac{1}{2}\right) $.
    Le vecteur $ \overrightarrow{EC} $ a pour coordonnées $ \left(1 ; 1 ; -1\right) $.
    Les vecteurs $ \overrightarrow{IJ} $ et $ \overrightarrow{EC} $ ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. Les droites $ (IJ) $ et $ (EC) $ ne sont donc pas parallèles.

    Étudions si elles sont coplanaires :
    Le système $ \overrightarrow{AI} + t\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{AE} + u\overrightarrow{EC} $ conduit à :

    $ \begin{cases} t = u \\ \dfrac{1}{2}t = u \\ \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}t = 1 - u \end{cases} $

    Les deux premières équations imposent $ t = u = 0 $, ce qui ne vérifie pas la troisième ($ 0{,}5 = 1 $ est faux).
    Les droites ne sont pas sécantes. N'étant ni parallèles ni sécantes, elles sont non coplanaires.
    L'affirmation exacte est la b.

  2. Calculons le produit scalaire $ \overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{BG} $.
    $ \overrightarrow{AF} $ a pour coordonnées $ (1 ; 0 ; 1) $.
    $ \overrightarrow{BG} $ a pour coordonnées $ (0 ; 1 ; 1) $.

    $ \overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{BG} = 1 \times 0 + 0 \times 1 + 1 \times 1 = 1 $

    L'affirmation exacte est la c.

  3. Le plan $ \mathscr{P} $ est le plan $ (AFH) $.
    Le point $ A(0 ; 0 ; 0) $ appartient au plan, donc la constante de l'équation cartésienne est nulle (élimine la réponse a).

    Vérifions les coordonnées de $ F(1 ; 0 ; 1) $ et $ H(0 ; 1 ; 1) $ dans les autres équations :
    Pour $ x + y - z = 0 $ :
    $ F : 1 + 0 - 1 = 0 $ (Vrai)
    $ H : 0 + 1 - 1 = 0 $ (Vrai)
    L'affirmation exacte est la d.

  4. Un vecteur normal au plan $ \mathscr{P} : x + y - z = 0 $ est $ \vec{n}(1 ; 1 ; -1) $.
    Calculons les coordonnées des vecteurs proposés :
    $ \overrightarrow{EG}(1 ; 1 ; 0) $
    $ \overrightarrow{EL} $ : le point $ L $ est l'intersection de la droite $ (EC) $ et du plan $ \mathscr{P} $. Puisque $ L $ appartient à $ (EC) $, $ \overrightarrow{EL} $ est colinéaire à $ \overrightarrow{EC}(1 ; 1 ; -1) $.
    Le vecteur $ \overrightarrow{EL} $ est donc colinéaire au vecteur normal $ \vec{n} $.
    L'affirmation exacte est la b.

  5. Le point $ L $ est l'intersection de la droite $ (EC) $ d'équation paramétrique $ \begin{cases} x = k \\ y = k \\ z = 1 - k \end{cases} $ et du plan $ x + y - z = 0 $.
    On a : $ k + k - (1 - k) = 0 \iff 3k - 1 = 0 \iff k = \dfrac{1}{3} $.
    Les coordonnées de $ L $ sont donc $ \left(\dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{3} ; \dfrac{2}{3}\right) $.
    On a donc $ \overrightarrow{AL} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AE} $.

    L'affirmation exacte est la d.

Pour réviser : Déterminer une équation cartésienne de plan