Représentation paramétrique d’un plan

1. Pour montrer que les points $ M $, $ N $ et $ L $ définissent un plan, il suffit de montrer que les vecteurs $ \overrightarrow{MN} $ et $ \overrightarrow{ML} $ ne sont pas colinéaires.
   
   Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{MN} $ sont $ \left(0 - 1 ; - 2 - 2 ; 0 - 0\right)=\left( - 1 ; - 4 ; 0\right) $
   
   Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{ML} $ sont $ \left( - 1 - 1 ; 1 - 2 ; 2 - 0\right)=\left( - 2 ; - 1 ; 2\right) $
   
   Les coordonnées de ces vecteurs ne sont pas proportionnelles donc $ \overrightarrow{MN} $ et $ \overrightarrow{ML} $ ne sont pas colinéaires.

2. Le plan $ \left(MNL\right) $ passe par $ M $ et les vecteurs $ \overrightarrow{MN} $ et $ \overrightarrow{ML} $ sont deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

   Une représentation paramétrique du plan $ \left(MNL\right) $ est donc :

   $ \left\{ \begin{matrix} x=1 - t - 2t^{\prime} \\ y=2 - 4t - t^{\prime} \\ z=2t^{\prime} \end{matrix}\right. $

   avec

   $ t \in \mathbb{R} $

   et

   $ t^{\prime} \in \mathbb{R} $
3. Le point $ I $ appartient au plan $ \left(MNL\right) $ si et seulement si il existe deux réels $ k $ et $ k^{\prime} $ tels que :
   
   $ \left\{ \begin{matrix} - 2=1 - t - 2t^{\prime} \\ - 3=2 - 4t - t^{\prime} \\ 2=2t^{\prime} \end{matrix}\right. $
   
   La dernière égalité donne $ t^{\prime}=1 $ et en remplaçant $ t^{\prime} $ par $ 1 $ dans la première équation on trouve $ t=1 $. On vérifie qu'alors la seconde équation est également vérifiée.
   
   Le point $ I $ appartient donc au plan $ \left(MNL\right) $.

Pour réviser : Déterminer une représentation paramétrique d'un plan