Représentation paramétrique droites et plans

1. Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB} $ sont $ \left( - 1 - 1 ; 2 - 0 ; 0 - 1\right)=\left( - 2 ; 2 ; - 1\right) $

   La droite $ \left(AB\right) $ passe par $ A $ et admet $ \overrightarrow{AB} $ comme vecteur directeur.

   Une représentation paramétrique de la droite $ \left(AB\right) $ est donc :

   $ \left\{ \begin{matrix} x=1 - 2t \\ y=2t \\ z=1 - t \end{matrix}\right. $

   avec

   $ t \in \mathbb{R} $

   Remarque :La représentation paramétrique n'est pas unique ; d'autres réponses exactes sont donc possibles.

2. La droite cherchée passe par $ C $ et admet $ \overrightarrow{AB} $ comme vecteur directeur puisqu'elle est parallèle à la droite $ \left(AB\right) $.

   Une représentation paramétrique de cette droite est donc :

   $ \left\{ \begin{matrix} x= - 2t \\ y= 2t \\ z= - 2 - t \end{matrix}\right. $

   avec

   $ t \in \mathbb{R} $

3. Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AC} $ sont $ \left(0 - 1 ; 0 - 0 ; - 2 - 1\right)=\left( - 1 ; 0 ; - 3\right) $

   Le plan $ \left(ABC\right) $ passe par $ A $ et les vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $ sont deux vecteurs non colinéaires (car les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas proportionnelles) de ce plan.

   Une représentation paramétrique du plan $ \left(ABC\right) $ est donc :

   $ \left\{ \begin{matrix} x=1 - 2t - t^{\prime} \\ y=2t \\ z=1 - t - 3t^{\prime} \end{matrix}\right. $

   avec

   $ t \in \mathbb{R} $

   et

   $ t^{\prime} \in \mathbb{R} $

Pour réviser : Déterminer une représentation paramétrique d'une droite