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Nombres complexes et géométrie Exercices

Nombres Complexes – Bac S Métropole 2014

Durée estimée
15 minutes
Difficulté
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Objectif travaillé

On désigne par (E) l'équation

$ z^{4}+4z^{2}+16=0 $

d'inconnue complexe $ z $.

  1. Résoudre dans $ \mathbb{C} $ l'équation $ Z^{2} +4Z+16=0 $.

    Écrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle.

  2. On désigne par $ a $ le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal à $ \dfrac{\pi }{3} $.

    Calculer $ a^{2} $ sous forme algébrique.

    En déduire les solutions dans $ \mathbb{C} $ de l'équation $ z^{2} = - 2+2i\sqrt{3} $. On écrira les solutions sous forme algébrique.

  3. Restitution organisée de connaissances

    On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe $ z=x+iy $ où $ x \in \mathbb{R} $ et $ y \in R $, le conjugué de $ z $ est le nombre complexe $ z $ défini par $ z=x - i y $.

    Démontrer que :

  4. Pour tous nombres complexes $ z_{1} $ et $ z_{2} $, $ \overline{z_{1}z_{2}} = \overline{z_{1}} \ \overline{z_{2}} $.
  5. Pour tout nombre complexe $ z $ et tout entier naturel non nul $ n, \overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n} $.

  6. Démontrer que si $ z $ est une solution de l'équation (E) alors son conjugué $ \overline{z} $ est également une solution de (E).

    En déduire les solutions dans $ \mathbb{C} $ de l'équation (E). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions.

Corrigé

  1. Le discriminant vaut :

    $ \Delta = 4^{2} - 4\times16\times1= - 48 $

    Le discriminant est strictement négatif donc l'équation possède deux solutions complexes conjuguées :

    $ Z_{1}=\dfrac{ - 4 - i\sqrt{48}}{2} = - 2 - 2\sqrt{3}i $

    $ Z_{2}=\dfrac{ - 4+i\sqrt{48}}{2} = - 2+2\sqrt{3}i $

    $ |Z_{1}|=\sqrt{4+12}=4 $

    Si $ \theta $ est un argument de $ Z_{1} $ :

    $ \cos \theta = - \dfrac{2}{4}= - \dfrac{1}{2} $ et $ \sin \theta = - \dfrac{2\sqrt{3}}{4}= - \dfrac{\sqrt{3}}{2} $ donc $ \theta = - \dfrac{2\pi }{3} $ (mod. $ 2\pi $)

    La forme exponentielle de $ Z_{1} $ est donc :

    $ Z_{1}=4e^{ - 2i\frac{\pi }{3}} $

    $ Z_{2} $ est le conjugué de $ Z_{1} $ donc :

    $ Z_{2}=4e^{2i\frac{\pi }{3}} $

  2. $ a=2e^{i\frac{\pi }{3}} $ donc

    $ a^{2}=4e^{2i\frac{\pi }{3}}=Z_{2}= - 2+2\sqrt{3}i $

    L'équation $ z^{2} = - 2+2i\sqrt{3} $ est donc identique à $ z^{2}=a^{2} $ dont les solutions sont $ a=1+i\sqrt{3} $ et $ - a= - 1 - i\sqrt{3} $.

  3. Posons $ z_{1}=x_{1}+iy_{1} $ et $ z_{2}=x_{2}+iy_{2} $

    $ z_{1}\times z_{2}=\left(x_{1}+iy_{1}\right)\left(x_{2}+iy_{2}\right) = x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} + \left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)i $

    Donc

    $ \overline{z_{1}\times z_{2}}= x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} - \left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)i $

    Par ailleurs :

    $ \overline{z_{1}}\times \overline{z_{2}}=\left(x_{1} - iy_{1}\right)\left(x_{2} - iy_{2}\right) = x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} + \left( - x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}\right)i = \overline{z_{1}\times z_{2}} $

    La proposition «Pour tout nombre complexe $ z $ et tout entier naturel non nul $ n, \overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n} $ » se montre par récurrence.

    -Elle est vraie au rang 1 car $ \overline{z^{1}}=\left(\overline{z}\right)^{1} \left(=\overline{z}\right) $

    -Si on suppose qu'elle est vraie au rang $ n $, c'est à dire que $ \overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n} $ alors :

    $ \overline{z^{n+1}}=\overline{z^{n}\times z} $

    Or d'après ce qui précède : $ \overline{z^{n}\times z} = \overline{z^{n}}\times \overline{z} $ donc :

    $ \overline{z^{n+1}} = \overline{z^{n}}\times \overline{z} $

    $ \overline{z^{n+1}} = \left(\overline{z}\right)^{n}\times \overline{z} $ (hypothèse de récurrence)

    $ \overline{z^{n+1}} = \left(\overline{z}\right)^{n+1} $

    ce qui montre la proposition par récurrence.

  4. Si $ z $ est une solution de (E) alors $ z^{4}+4z^{2}+16=0 $ donc $ \overline{z^{4}+4z^{2}+16}=\overline{0}=0 $.

    Or d'après les propriétés que l'on vient de démontrer $ \overline{z^{4}+4z^{2}+16}=\overline{z}^{4}+4\overline{z}^{2}+16 $ donc

    $ \overline{z}^{4}+4\overline{z}^{2}+16=0 $ et $ \overline{z} $ est également solution de (E).

    D'après les questions 1. et 2., $ a $ et $ - a $ sont solutions de (E).

    D'après ce qui précède, $ \overline{a} $ et $ - \overline{a} $ sont aussi solutions de (E).

    Les quatre solutions de (E) sont donc:

    $ a=1+i\sqrt{3} $

    $ - a= - 1 - i\sqrt{3} $

    $ \overline{a}=1 - i\sqrt{3} $

    $ - \overline{a}= - 1+i\sqrt{3} $