Nombres complexes et algèbre
Exercices
Nombres complexes – Équation du second degré
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- Pour quelle valeur de $ a $ l'équation $ z^{2} - 2z+a=0 $ admet-elle le nombre $ 1+i $ comme solution ?
- Quelle est alors l'autre solution ?
Corrigé
$ 1+i $ est solution de l'équation $ z^{2} - 2z+a=0 $ si et seulement si :
$ \left(1+i\right)^{2} - 2\left(1+i\right)+a=0 $
$ 1+2i+i^{2} - 2 - 2i+a=0 $
$ - 2+a=0 $
$ a=2 $
On pourrait calculer le discriminant, mais il est plus simple de dire que le polynôme $ z^{2} - 2z+2 $ est à coefficients réels donc que les racines sont conjuguées. On obtient donc :
$ z_{2}=\overline{1+i}=1 - i $
→ Pour réviser : Résoudre une équation du second degré dans ℂ