Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Connexion Inscription
Primitives - intégrales - équations différentielles Exercices

[Bac] Suites et intégrales

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
Votre progression

Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.

Créer un compte

Objectifs travaillés

Extrait d'un exercice du Bac S Métropole 2014.

Le sujet complet est disponible ici : Bac S Métropole 2014

L'objet de cet exercice est d'étudier la suite $ \left(I_{n}\right) $ définie sur $ \mathbb{N} $ par :

$ I_{n}=\int_{0}^{1}\left(x+e^{ - nx}\right) dx. $

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $ \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) $ , pour tout entier naturel $ n $, on note

$ \mathscr C_{n} $ la courbe représentative de la fonction $ f_{n} $ définie sur $ \mathbb{R} $ par

$ f_{n}\left(x\right)=x+e^{ - nx}. $

Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe $ \mathscr C_{n} $ pour plusieurs valeurs de l'entier $ n $ et la droite $ \mathscr D $ d'équation $ x=1 $.

Suites et intégrales
  1. Interpréter géométriquement l'intégrale $ I_{n} $.
  2. En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $ \left(I_{n}\right) $ et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s'appuie pour conjecturer.

  3. Démontrer que pour tout entier naturel $ n $ supérieur ou égal à 1,

    $ I_{n+1} - I_{n}=\int_{0}^{1}e^{ - \left(n+1\right)x} \left(1 - e^{x}\right)dx. $

    En déduire le signe de $ I_{n+1} - I_{n} $ puis démontrer que la suite $ \left(I_{n}\right) $ est convergente.

  4. Déterminer l'expression de $ I_{n} $ en fonction de $ n $ et déterminer la limite de la suite $ \left(I_{n}\right) $.

Corrigé

  1. Sur $ \left[0;1\right] $ les fonctions $ f_{n} $ sont strictement positives puisque $ x \geqslant 0 $ et $ e^{ - nx} > 0 $

    L'intégrale $ I_{n} $ représente donc l'aire du plan délimité par la courbe $ \mathscr C_{n} $, l'axe des abscisses et les droites d'équations $ x=0 $ et $ x=1 $.
  2. D'après la figure, il semble que la suite $ I_{n} $ soit décroissante et tende vers $ \dfrac{1}{2} $.

    En effet, sur $ \left[0;1\right] $ les courbes $ \mathscr C_{n} $ semble se rapprocher de la droite d'équation $ y=x $;

    l'aire comprise entre cette droite, l'axe des abscisses et les droites d'équations $ x=0 $ et $ x=1 $ vaut $ \dfrac{1}{2} $ (triangle rectangle isocèle dont les côtés mesurent 1 unité).
  3. $ I_{n+1} - I_{n}=\int_{0}^{1}x+e^{ - \left(n+1\right)x}dx - \int_{0}^{1}x+e^{ - nx}dx $.

    D'après la propriété de linéarité de l'intégrale :

    $ I_{n+1} - I_{n}=\int_{0}^{1}x+e^{ - \left(n+1\right)x} - \left(x+e^{ - nx}\right)dx=\int_{0}^{1}e^{ - \left(n+1\right)x} - e^{ - nx}dx $

    $ I_{n+1} - I_{n}= \int_{0}^{1}e^{ - \left(n+1\right)x} \left(1 - e^{x}\right)dx $

    Or, sur $ \left[0;1\right] $, $ e^{x} \geqslant 1 $ donc $ 1 - e^{x}\leqslant 0 $ et $ e^{ - \left(n+1\right)x} > 0 $ donc d'après la propriété de positivité de l'intégrale : $ I_{n+1} - I_{n} \leqslant 0 $.

    La suite $ \left(I_{n}\right) $ est donc décroissante. Comme elle est minorée par zéro elle est convergente.

  4. Une primitive de $ x\mapsto x $ sur $ \mathbb{R} $ est $ x\mapsto \dfrac{x^{2}}{2} $

    Une primitive de $ x\mapsto e^{ - nx} $ sur $ \mathbb{R} $ est $ x\mapsto - \dfrac{e^{ - nx}}{n} $

    Par conséquent :

    $ I_{n}=\int_{0}^{1}\left(x+e^{ - nx}\right) dx = \left[\dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{e^{ - nx}}{n}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{e^{ - n}}{n}+\dfrac{1}{n} $

    Comme $ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{e^{ - n}}{n}=0 $ (par quotient) et $ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{n}=0 $ on a donc :

    $ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }I_{n}=\dfrac{1}{2} $