Étude d’une fonction trigonométrique

Durée estimée

15 minutes

Difficulté

Soit la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $ I = \left[0 ; \pi \right] $ par :

$ f\left(x\right)=x\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right) $

Calculer $ f^{\prime}\left(x\right) $
Tracer le tableau de variation de $ f $ sur l'intervalle $ I = \left[0 ; \pi \right] $
Montrer que l'équation $ f\left(x\right)= - 1 $ possède une unique solution sur $ I $.

Corrigé

La dérivée de la fonction $ f $ est donnée par :

$ f'(x) = 1 \times \cos(x) + x \times (-\sin(x)) - \cos(x) $

$ f'(x) = \cos(x) - x \sin(x) - \cos(x) = -x \sin(x) $
On remarque que $ f(\pi) = \pi\cos(\pi) - \sin(\pi) = \pi \times (-1) - 0 = -\pi $.
Sur l'intervalle $ [0 ; \pi] $, $ -x \le 0 $ et $ \sin(x) \ge 0 $, donc $ f'(x) \le 0 $.
On peut dresser le tableau de variations de $ f $ sur $ I $ :
Le tableau ci-dessus montre que $ f $ est monotone décroissante sur $ I $ et varie de $ 0 $ à $ -\pi $ sur cet intervalle.
En observant que $ -\pi < -1 < 0 $, on conclut d'après le théorème des valeurs intermédiaires que l'équation $ f(x) = -1 $ possède une unique solution sur l'intervalle $ I $.

Remarque : La solution dans $ I $ de l'équation $ f(x) = -1 $ est $ x = \dfrac{\pi}{2} $.