[Bac] Étude d’une fonction avec logarithme (1)

Extrait d'un exercice du Bac S Amérique du Nord 2013.

Le sujet complet nécessite l'étude du chapitre Primitives/intégrales.

Soit $ f $ la fonction définie sur l'intervalle $ \left]0 ;+\infty \right[ $ par

$ f\left(x\right)=\dfrac{1+\ln \left(x\right)}{x^{2}} $

et soit $ \mathscr C $ la courbe représentative de la fonction $ f $ dans un repère du plan. La courbe $ \mathscr C $ est donnée ci-dessous :

1. 1. Étudier la limite de $ f $ en $ 0 $.
   2. Que vaut $ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty } \dfrac{\ln \left(x\right)}{x} $ ?
      
      En déduire la limite de la fonction $ f $ en $ + \infty $.
   3. En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $ \mathscr C $.
2. 1. On note $ f^{\prime} $ la fonction dérivée de la fonction $ f $ sur l'intervalle $ \left]0 ;+\infty \right[ $.
      
      Démontrer que, pour tout réel $ x $ appartenant à l'intervalle $ \left]0 ;+\infty \right[ $,
      
      $ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{ - 1 - 2\ln \left(x\right)}{x^{3}}. $
   2. Résoudre sur l'intervalle $ \left]0 ;+\infty \right[ $ l'inéquation $ - 1 - 2\ln\left(x\right) > 0 $.
      
      En déduire le signe de $ f^{\prime}\left(x\right) $ sur l'intervalle $ \left]0 ;+\infty \right[ $.
   3. Dresser le tableau des variations de la fonction $ f $.
3. 1. Démontrer que la courbe $ \mathscr C $ a un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.
   2. En déduire le signe de $ f\left(x\right) $ sur l'intervalle $ \left]0 ;+\infty \right[ $.

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