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Primitives - intégrales - équations différentielles Exercices

Calcul d’une intégrale avec exponentielle

Durée estimée

10 minutes

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Objectifs travaillés

Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par :

$ f\left(x\right)=xe^{ - x} $

Déterminer les réels $ a $ et $ b $ tels que la fonction $ F $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ F\left(x\right)=\left(ax+b\right)e^{ - x} $ soit une primitive de $ f $.
En déduire la valeur de :

$ I=\int_{0}^{1}f\left(t\right)dt $

Corrigé

$ F $ est une primitive de $ f $ si et seulement si $ F^{\prime}=f $

Si $ F\left(x\right)=\left(ax+b\right)e^{ - x} $ alors :

$ F^{\prime}\left(x\right)=ae^{ - x}+\left(ax+b\right)\times - e^{ - x} $ (formule $ \left(uv\right)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime} $)

$ F^{\prime}\left(x\right)=\left( - ax+a - b\right) e^{ - x} $

Par identification, $ F^{\prime}=f $ si et seulement si $ - a=1 $ et $ a - b=0 $; c'est à dire :

$ a= - 1 $

et

$ b= - 1 $

On obtient alors :

$ F\left(x\right)=\left( - x - 1\right)e^{ - x} $
$ I=F\left(1\right) - F\left(0\right)= - 2e^{ - 1}+1e^{0}=1 - \dfrac{2}{e} $