Simplification d’expressions avec logarithme népérien

Durée estimée

10 minutes

Difficulté

Simplifier les expressions suivantes :

Corrigé

On utilise les propriétés algébriques du logarithme :
$ A = \ln\left(4\right) - \ln\left(\sqrt{2}\right) $
$ A = \ln\left(2^{2}\right) - \ln\left(2^{1/2}\right) $
$ A = 2\ln\left(2\right) - \dfrac{1}{2}\ln\left(2\right) $
$ A $ = $\mathbf{\dfrac{3}{2}\ln\left(2\right)}$
On simplifie en utilisant la propriété du quotient :
$ B = \ln\left(2x\right) - \ln\left(x\right) = \ln\left(\dfrac{2x}{x}\right) $
$ B $ = $\mathbf{\ln\left(2\right)}$
On applique la propriété de la puissance :
$ C = \ln\left(x^{2}\right) - \ln\left(x\right) = 2\ln\left(x\right) - \ln\left(x\right) $
$ C $ = $\mathbf{\ln\left(x\right)}$
On factorise $ x^{2} - 1 $ en identité remarquable :
$ D = \ln\left(x^{2} - 1\right) - \ln\left(x - 1\right) = \ln\left(\dfrac{x^{2} - 1}{x - 1}\right) $
$ D = \ln\left(\dfrac{\left(x+1\right)\left(x - 1\right)}{x - 1}\right) $
$ D $ = $\mathbf{\ln\left(x+1\right)}$