Théorème de Thalès

Deux configurations différentes peuvent se présenter selon l'ordre des points $ A, B, D $ et $ A, C, E $. Il faut être capable de repérer chacune de ces configurations dans les exercices de géométrie.

• Il est important de bien faire attention à l'ordre des points. On pourra s'aider en notant la correspondance entre les points. Dans les deux figures ci-dessus :

  Points	$ A $	$ B $	$ C $
  Correspondent à	$ A $	$ D $	$ E $

  Par conséquent :

  Longueurs	$ AB $	$ AC $	$ BC $
  Correspondent à	$ AD $	$ AE $	$ DE $

• Ce théorème sert à démontrer que deux droites sont parallèles.
• Si $ \dfrac{AB}{AD}\neq \dfrac{AC}{AE} $ alors, les droites $ \left(BC\right) $ et $ \left(DE\right) $ ne sont pas parallèles ; cela ne résulte toutefois pas de la réciproque du théorème de Thalès mais c'est une conséquence du théorème de Thalès lui-même (en effet d'après le théorème de Thalès si les droites $ \left(BC\right) $ et $ \left(DE\right) $ étaient parallèles on aurait $ \dfrac{AB}{AD}= \dfrac{AC}{AE} $ - voir la fiche méthode « Déterminer si deux droites sont parallèles » ).

Le théorème des milieux est un cas particulier du théorème de Thalès, correspondant à un rapport de réduction égal à $ \dfrac{1}{2} $.

• Réciproque : dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu.

Dans une configuration de Thalès, le petit triangle est une réduction du grand (ou le grand, un agrandissement du petit). Le rapport de Thalès est exactement le coefficient $ k $ de cet agrandissement ou de cette réduction : chaque longueur du triangle réduit s'obtient en multipliant la longueur correspondante du grand triangle par $ k $. On a une réduction si $ k<1 $ et un agrandissement si $ k>1 $.