Parallélisme et position relative de deux droites

1. Un vecteur directeur d'une droite d'équation $ ax+by+c=0 $ est $ \vec{u}\left(-b ; a\right) $. Donc :

   • $ \vec{u_{1}}\left(2 ; 3\right) $ est un vecteur directeur de $ d_{1} $ ;
   • $ \vec{u_{2}}\left(4 ; 6\right) $ est un vecteur directeur de $ d_{2} $.

   On teste la colinéarité de $ \vec{u_{1}} $ et $ \vec{u_{2}} $ :
   $ xy^{\prime} - x^{\prime}y = 2\times 6 - 4\times 3 = 12 - 12 = 0 $
   Les vecteurs $ \vec{u_{1}} $ et $ \vec{u_{2}} $ sont colinéaires, donc les droites $ d_{1} $ et $ d_{2} $ sont parallèles.

2. Il suffit de prouver qu'un point de $ d_{1} $ n'appartient pas à $ d_{2} $.
   Pour $ x=1 $, l'équation de $ d_{1} $ donne $ 3 - 2y+1=0 $, soit $ y=2 $. Le point $ A\left(1 ; 2\right) $ appartient donc à $ d_{1} $.
   On teste si $ A\left(1 ; 2\right) $ appartient à $ d_{2} $ :
   $ 6\times 1 - 4\times 2 - 5= 6 - 8 - 5 = -7\neq 0 $
   Donc $ A $ n'appartient pas à $ d_{2} $. Les droites $ d_{1} $ et $ d_{2} $ ne sont pas confondues : elles sont strictement parallèles.

3. Les vecteurs directeurs $ \vec{u_{1}}\left(2 ; 3\right) $ et $ \vec{u_{3}}\left(-2 ; 1\right) $ vérifient $ 2\times 1 - \left(-2\right)\times 3 = 2+6 = 8\neq 0 $. Ils ne sont pas colinéaires, donc $ d_{1} $ et $ d_{3} $ sont sécantes.
   Les coordonnées $ \left(x ; y\right) $ du point d'intersection $ I $ sont solutions du système :
   $ \left\{ \begin{matrix} 3x - 2y+1=0 \\ x+2y - 7=0 \end{matrix}\right. $
   En additionnant les deux équations, on élimine $ y $ :
   $ 4x - 6=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2} $
   En reportant dans la deuxième équation :
   $ \dfrac{3}{2}+2y - 7=0 \Leftrightarrow 2y=\dfrac{11}{2} \Leftrightarrow y=\dfrac{11}{4} $
   Les coordonnées du point d'intersection sont donc :

   $\mathbf{I\left(\dfrac{3}{2} ; \dfrac{11}{4}\right)}$

Pour réviser : Déterminer une équation cartésienne connaissant un point et un vecteur directeur