Racine carrée : valeurs exactes et encadrements

Durée estimée

10 minutes

Difficulté

Donner la valeur exacte de chaque racine carrée.
1. $ \sqrt{36} $
2. $ \sqrt{121} $
3. $ \sqrt{0} $
4. $ \sqrt{144} $
Encadrer chaque racine carrée par deux entiers consécutifs.
1. $ \sqrt{30} $
2. $ \sqrt{75} $
3. $ \sqrt{200} $
À l'aide de la calculatrice, encadrer $ \sqrt{30} $ par deux nombres décimaux à $ 0{,}1 $ près. Justifier en donnant les carrés utilisés.
Résoudre dans l'ensemble des nombres positifs.
1. $ x^{2} = 81 $
2. $ x^{2} = 50 $ (donner la valeur exacte puis une valeur approchée à $ 0{,}01 $ près)

Corrigé

On utilise les carrés parfaits connus.
1. $ 6^{2} = 36 $, donc $ \sqrt{36} $ = $\mathbf{6}$.
2. $ 11^{2} = 121 $, donc $ \sqrt{121} $ = $\mathbf{11}$.
3. $ 0^{2} = 0 $, donc $ \sqrt{0} $ = $\mathbf{0}$.
4. $ 12^{2} = 144 $, donc $ \sqrt{144} $ = $\mathbf{12}$.
On cherche, pour chaque nombre, les deux carrés parfaits consécutifs qui l'encadrent.
1. $ 25 < 30 < 36 $, c'est-à-dire $ 5^{2} < 30 < 6^{2} $.
  Donc $\mathbf{5 < \sqrt{30} < 6}$.
2. $ 64 < 75 < 81 $, c'est-à-dire $ 8^{2} < 75 < 9^{2} $.
  Donc $\mathbf{8 < \sqrt{75} < 9}$.
3. $ 196 < 200 < 225 $, c'est-à-dire $ 14^{2} < 200 < 15^{2} $.
  Donc $\mathbf{14 < \sqrt{200} < 15}$.
On affine en testant les carrés des décimaux situés entre $ 5 $ et $ 6 $.

À la calculatrice : $ 5{,}4^{2} = 29{,}16 $ et $ 5{,}5^{2} = 30{,}25 $.

On a donc $ 5{,}4^{2} < 30 < 5{,}5^{2} $, d'où $\mathbf{5{,}4 < \sqrt{30} < 5{,}5}$.
1. On cherche le nombre positif dont le carré vaut $ 81 $. Comme $ 9^{2} = 81 $, on a $ x = \sqrt{81} $ = $\mathbf{9}$.
2. On cherche le nombre positif dont le carré vaut $ 50 $. La valeur exacte est $ x = \sqrt{50} $.
  À la calculatrice : $ \sqrt{50} \approx 7{,}07 $ (à $ 0{,}01 $ près).
  Donc $ x $ = $\mathbf{\sqrt{50} \approx 7{,}07}$.