Simplifier une fraction pour la rendre irréductible
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteFraction irréductible
Une fraction $ \dfrac{a}{b} $ est irréductible lorsque $ PGCD\left(a~;~b\right) = 1 $, c'est-à-dire lorsque le numérateur et le dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que $ 1 $.
Méthode
- Calculer le $ PGCD $ du numérateur et du dénominateur.
- Diviser le numérateur et le dénominateur par ce $ PGCD $.
- La fraction obtenue est irréductible.
Simplifier la fraction 45/75
On veut simplifier $ \dfrac{45}{75} $.
Étape 1 : On calcule $ PGCD\left(45~;~75\right) $.
On décompose en facteurs premiers :
Les facteurs communs sont $ 3 $ et $ 5 $. On retient les plus petits exposants :
Étape 2 : On divise le numérateur et le dénominateur par $ 15 $ :
Comme $ PGCD\left(3~;~5\right) = 1 $, la fraction $ \dfrac{3}{5} $ est bien irréductible.
Simplifier la fraction 56/98
On veut simplifier $ \dfrac{56}{98} $.
Étape 1 : On calcule $ PGCD\left(56~;~98\right) $.
On décompose en facteurs premiers :
Les facteurs communs sont $ 2 $ et $ 7 $. On retient les plus petits exposants :
Étape 2 : On divise le numérateur et le dénominateur par $ 14 $ :
La fraction $ \dfrac{4}{7} $ est irréductible car $ PGCD\left(4~;~7\right) = 1 $.
Remarque
Si $ PGCD\left(a~;~b\right) = 1 $, la fraction $ \dfrac{a}{b} $ est déjà irréductible et il n'est pas possible de la simplifier davantage.
Exemple : $ \dfrac{7}{11} $ est irréductible car $ PGCD\left(7~;~11\right) = 1 $.
Attention
Simplifier par un diviseur commun quelconque (et non par le PGCD) ne rend pas forcément la fraction irréductible. Il faut impérativement diviser par le PGCD pour être certain d'obtenir une fraction irréductible en une seule étape.
Exemple : Pour $ \dfrac{45}{75} $, diviser par $ 5 $ donne $ \dfrac{9}{15} $, qui n'est toujours pas irréductible (on peut encore diviser par $ 3 $).