Résoudre une inéquation du second degré
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Méthode
Pour résoudre une inéquation du second degré :
- Étape 1 : Tout regrouper d'un côté pour obtenir $ax^2 + bx + c \;\square\; 0$ (où $\square$ est $<$, $\leqslant$, $>$ ou $\geqslant$)
- Étape 2 : Étudier le signe du trinôme (calcul de $\Delta$, racines, signe de $a$)
- Étape 3 : Dresser le tableau de signes
- Étape 4 : Lire l'ensemble des solutions à partir du tableau, en respectant l'inégalité (large ou stricte)
Inéquation directe
Résoudre $x^2 + 2x - 3 \leqslant 0$.
Étape 1 : L'inéquation est déjà au bon format. On a $a = 1$, $b = 2$, $c = -3$.
Étape 2 : $\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16$.
$\Delta > 0$, deux racines :
$a = 1 > 0$ donc le trinôme est négatif entre $-3$ et $1$.
Étape 3 : Tableau de signes :
Étape 4 : On cherche où le trinôme est négatif ou nul ($\leqslant 0$). Les bornes sont incluses (inégalité large) :
Inéquation à transformer
Résoudre $2x^2 - x \geqslant 1$.
Étape 1 : On regroupe à gauche :
Étape 2 : $a = 2$, $b = -1$, $c = -1$, $\Delta = 1 + 8 = 9$.
$a > 0$ donc le trinôme est positif à l'extérieur des racines.
Étape 3 : Tableau de signes :
Étape 4 : On cherche où le trinôme est positif ou nul, bornes incluses :
Remarque
Toujours regrouper en premier d'un même côté : une inéquation comme $x^2 + 1 > 3x$ doit devenir $x^2 - 3x + 1 > 0$ avant l'étude du signe.
Attention
Pour une inégalité stricte ($<$ ou $>$), les racines sont exclues de l'ensemble des solutions : crochets ouverts. Pour une inégalité large ($\leqslant$ ou $\geqslant$), les racines sont incluses : crochets fermés.