Reconnaître si un nombre est premier
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Pour déterminer si un entier $ n $ (supérieur ou égal à $ 2 $) est premier :
- Calculer une valeur approchée de $ \sqrt{n} $.
- Tester la divisibilité de $ n $ par chaque nombre premier inférieur ou égal à $ \sqrt{n} $ : $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $, $ 7 $, $ 11 $, …
- Si aucun de ces nombres premiers ne divise $ n $, alors $ n $ est premier. Si l'un d'eux divise $ n $, alors $ n $ n'est pas premier.
Utiliser les critères de divisibilité
Les critères de divisibilité permettent de tester rapidement les premiers candidats :
- Par 2 : le nombre est-il pair ?
- Par 3 : la somme des chiffres est-elle divisible par $ 3 $ ?
- Par 5 : le nombre se termine-t-il par $ 0 $ ou $ 5 $ ?
Un nombre premier
Le nombre $ 67 $ est-il premier ?
Étape 1 : $ \sqrt{67} \approx 8{,}2 $. On doit tester les nombres premiers inférieurs ou égaux à $ 8 $ : $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $ et $ 7 $.
Étape 2 :
- $ 67 $ est impair, donc non divisible par $ 2 $.
- $ 6 + 7 = 13 $, non divisible par $ 3 $.
- Le chiffre des unités est $ 7 $, donc non divisible par $ 5 $.
- $ 67 = 9 \times 7 + 4 $, donc non divisible par $ 7 $.
Conclusion : aucun de ces nombres premiers ne divise $ 67 $, donc $ 67 $ est premier.
Un nombre non premier
Le nombre $ 91 $ est-il premier ?
Étape 1 : $ \sqrt{91} \approx 9{,}5 $. On doit tester les nombres premiers inférieurs ou égaux à $ 9 $ : $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $ et $ 7 $.
Étape 2 :
- $ 91 $ est impair, donc non divisible par $ 2 $.
- $ 9 + 1 = 10 $, non divisible par $ 3 $.
- Le chiffre des unités est $ 1 $, donc non divisible par $ 5 $.
- $ 91 \div 7 = 13 $, donc $ 91 $ est divisible par $ 7 $.
Conclusion : $ 91 $ admet $ 7 $ comme diviseur, donc $ 91 $ n'est pas premier. On a $ 91 = 7 \times 13 $.
Les pièges classiques
Le nombre $ 51 $ est-il premier ?
$ \sqrt{51} \approx 7{,}1 $. On teste $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $ et $ 7 $.
- $ 51 $ est impair, donc non divisible par $ 2 $.
- $ 5 + 1 = 6 $ et $ 6 $ est divisible par $ 3 $, donc $ 51 $ est divisible par $ 3 $.
$ 51 = 3 \times 17 $, donc $ 51 $ n'est pas premier.
Attention
- $ 1 $ n'est pas premier : un nombre premier possède exactement deux diviseurs, or $ 1 $ n'a qu'un seul diviseur (lui-même).
- Attention aux nombres qui « paraissent premiers » : $ 51 = 3 \times 17 $, $ 91 = 7 \times 13 $, $ 57 = 3 \times 19 $. Les critères de divisibilité sont indispensables.