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Divisibilité et nombres premiers Exercices

Tester si des nombres sont premiers

Durée estimée
10 minutes
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Objectif travaillé

  1. Pour chacun des nombres suivants, dire s'il est premier ou non. Si le nombre n'est pas premier, donner un de ses diviseurs autre que $ 1 $ et lui-même.

    1. $ 59 $
    2. $ 87 $
    3. $ 119 $
    4. $ 131 $
  2. Camille affirme : « $ 143 $ est un nombre premier car il n'est divisible ni par $ 2 $, ni par $ 3 $, ni par $ 5 $, ni par $ 7 $. » A-t-elle raison ? Justifier.

Corrigé

  1. Pour chaque nombre, on calcule sa racine carrée approchée puis on teste les nombres premiers inférieurs ou égaux à cette racine.

    1. $ \sqrt{59} \approx 7{,}7 $. On teste $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $ et $ 7 $.

      $ 59 $ est impair, donc non divisible par $ 2 $.
      $ 5 + 9 = 14 $, non divisible par $ 3 $.
      Le chiffre des unités est $ 9 $, donc non divisible par $ 5 $.
      $ 59 = 7 \times 8 + 3 $, non divisible par $ 7 $.

      Aucun de ces nombres premiers ne divise $ 59 $, donc $ 59 $ est premier.

    2. $ \sqrt{87} \approx 9{,}3 $. On teste $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $ et $ 7 $.

      $ 87 $ est impair, donc non divisible par $ 2 $.
      $ 8 + 7 = 15 $, divisible par $ 3 $.

      $ 87 $ n'est pas premier, il est divisible par $ 3 $ : $ 87 = 3 \times 29 $.

    3. $ \sqrt{119} \approx 10{,}9 $. On teste $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $ et $ 7 $.

      $ 119 $ est impair, donc non divisible par $ 2 $.
      $ 1 + 1 + 9 = 11 $, non divisible par $ 3 $.
      Le chiffre des unités est $ 9 $, donc non divisible par $ 5 $.
      $ 119 = 7 \times 17 $, divisible par $ 7 $.

      $ 119 $ n'est pas premier, il admet $ 7 $ comme diviseur.

    4. $ \sqrt{131} \approx 11{,}4 $. On teste $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $, $ 7 $ et $ 11 $.

      $ 131 $ est impair, donc non divisible par $ 2 $.
      $ 1 + 3 + 1 = 5 $, non divisible par $ 3 $.
      Le chiffre des unités est $ 1 $, donc non divisible par $ 5 $.
      $ 131 = 7 \times 18 + 5 $, non divisible par $ 7 $.
      $ 131 = 11 \times 11 + 10 $, non divisible par $ 11 $.

      Aucun de ces nombres premiers ne divise $ 131 $, donc $ 131 $ est premier.

  2. Camille a tort. On a $ \sqrt{143} \approx 11{,}9 $, donc il faut aussi tester le nombre premier $ 11 $.

    Or $ 143 = 11 \times 13 $, donc $ 143 $ est divisible par $ 11 $.

    $ 143 $ n'est pas premier. L'erreur de Camille est de s'être arrêtée à $ 7 $ alors qu'il fallait tester tous les nombres premiers jusqu'à $ \sqrt{143} \approx 11{,}9 $.