Parallélogramme dans un repère

1. Les vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $ ont pour coordonnées :
   $ \overrightarrow{AB}\left(x_{B} - x_{A} ; y_{B} - y_{A}\right) = \left(4 ; 2\right) $
   $ \overrightarrow{AC}\left(x_{C} - x_{A} ; y_{C} - y_{A}\right) = \left(6 ; -3\right) $
   On teste leur colinéarité :
   $ xy^{\prime} - x^{\prime}y = 4\times\left(-3\right) - 6\times 2 = -12 - 12 = -24\neq 0 $
   Les vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $ ne sont pas colinéaires, donc les points $ A $, $ B $ et $ C $ ne sont pas alignés.

2. Le quadrilatère $ ABCD $ est un parallélogramme si et seulement si $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} $.
   En notant $ D\left(x_{D} ; y_{D}\right) $, on a :
   $ \overrightarrow{DC}\left(x_{C} - x_{D} ; y_{C} - y_{D}\right)=\left(5 - x_{D} ; -1 - y_{D}\right) $
   L'égalité $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} $ équivaut donc au système :
   $ \left\{ \begin{matrix} 5 - x_{D} = 4 \\ -1 - y_{D} = 2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{D}=1 \\ y_{D}=-3 \end{matrix}\right. $
   On obtient donc :

   $\mathbf{D\left(1 ; -3\right)}$

3. Le vecteur $ \overrightarrow{BD} $ est un vecteur directeur de la droite $ \left(BD\right) $. Ses coordonnées sont :
   $ \overrightarrow{BD}\left(x_{D} - x_{B} ; y_{D} - y_{B}\right)=\left(-2 ; -7\right) $
   Une équation cartésienne de $ \left(BD\right) $ est alors, avec $ B\left(3 ; 4\right) $ et $ \overrightarrow{BD}\left(-2 ; -7\right) $ :
   $ -7\times\left(x - 3\right) - \left(-2\right)\times\left(y - 4\right)=0 $
   $ -7x+21+2y - 8=0 $
   $ -7x+2y+13=0 $
   Soit, en multipliant par $ -1 $ :

   $\mathbf{7x - 2y - 13=0}$

4. Méthode 1 : Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, donc $ I $ est le milieu de $ \left[AC\right] $.
   $ I\left(\dfrac{x_{A}+x_{C}}{2} ; \dfrac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)=\left(\dfrac{-1+5}{2} ; \dfrac{2+\left(-1\right)}{2}\right)=\left(2 ; \dfrac{1}{2}\right) $
   Méthode 2 : Le point $ I $ est le point d'intersection des diagonales $ \left(AC\right) $ et $ \left(BD\right) $.
   Déterminons d'abord une équation de $ \left(AC\right) $. Le vecteur $ \overrightarrow{AC}\left(6 ; -3\right) $ est un vecteur directeur :
   $ -3\times\left(x - \left(-1\right)\right) - 6\times\left(y - 2\right)=0 $
   $ -3x - 3 - 6y+12=0 $
   $ -3x - 6y+9=0 $
   En divisant par $ -3 $, on obtient l'équation $ x+2y - 3=0 $.
   Les coordonnées de $ I $ sont solutions du système :
   $ \left\{ \begin{matrix} x+2y - 3=0 \\ 7x - 2y - 13=0 \end{matrix}\right. $
   En additionnant les deux équations, on élimine $ y $ :
   $ 8x - 16=0 \Leftrightarrow x=2 $
   En reportant dans la première équation :
   $ 2+2y - 3=0 \Leftrightarrow y=\dfrac{1}{2} $
   Les deux méthodes donnent le même résultat :

   $\mathbf{I\left(2 ; \dfrac{1}{2}\right)}$

Pour réviser : Déterminer une équation cartésienne d'une droite passant par deux points