Estimer une proportion par une fréquence
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Une entreprise fabrique des vis et souhaite estimer la proportion $p$ de vis défectueuses dans sa production, qu'elle ne connaît pas. Pour cela, elle réalise des contrôles sur des échantillons prélevés au hasard.
- Un premier contrôle porte sur un échantillon de $600$ vis, parmi lesquelles $24$ sont défectueuses. Calculer la fréquence de vis défectueuses dans cet échantillon, puis donner une estimation de la proportion $p$.
- L'entreprise réalise un second contrôle, plus poussé, sur un échantillon de $2\,400$ vis : $84$ d'entre elles sont défectueuses. Calculer la nouvelle fréquence de vis défectueuses, puis la nouvelle estimation de $p$.
- Pour chacun des deux contrôles, calculer le seuil de fluctuation $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$. En déduire lequel des deux contrôles fournit l'estimation la plus fiable.
Corrigé
L'expérience a deux issues : « la vis est défectueuse » (succès) ou « la vis fonctionne » (échec). La fréquence observée du succès dans un échantillon de taille $n$ est $f = \dfrac{k}{n}$, où $k$ est le nombre de vis défectueuses. La loi des grands nombres permet d'estimer la proportion inconnue par $p \approx f$.
La taille de l'échantillon est $n = 600$ et le nombre de succès est $k = 24$.
$f = \dfrac{24}{600} = 0{,}04$On estime la proportion de vis défectueuses par $p \approx 0{,}04$, soit environ $\mathbf{4\,\%}$ de la production.
La taille de l'échantillon est $n = 2\,400$ et le nombre de succès est $k = 84$.
$f = \dfrac{84}{2\,400} = 0{,}035$On estime cette fois la proportion de vis défectueuses par $p \approx 0{,}035$, soit environ $\mathbf{3{,}5\,\%}$ de la production.
Le seuil de fluctuation du premier contrôle vaut :
$\dfrac{1}{\sqrt{600}} \approx 0{,}041$Le seuil de fluctuation du second contrôle vaut :
$\dfrac{1}{\sqrt{2\,400}} \approx 0{,}020$Le second échantillon est plus grand, donc son seuil $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ est plus petit : la fréquence observée y est, en général, plus proche de la proportion réelle $p$. C'est donc le second contrôle, sur $2\,400$ vis, qui fournit l'estimation la plus fiable.