Déterminer un antécédent par le calcul
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Créer un compteChercher un antécédent d'un nombre $b$ par une fonction $f$, c'est trouver un nombre $x$ tel que $f(x) = b$. Cela revient à résoudre une équation.
Méthode
Étape 1 : Écrire l'équation $f(x) = b$ en remplaçant $f(x)$ par son expression.
Étape 2 : Résoudre l'équation pour trouver la valeur de $x$.
Étape 3 : Vérifier le résultat en calculant l'image.
Antécédent avec une expression du premier degré
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = 5x + 3$. Déterminer l'antécédent de $18$ par $f$.
Étape 1 : On écrit l'équation :
$5x + 3 = 18$
Étape 2 : On résout :
$5x = 18 - 3$
$5x = 15$
$x = \dfrac{15}{5} = 3$
Étape 3 : Vérification : $f(3) = 5 \times 3 + 3 = 15 + 3 = 18$, c'est correct.
L'antécédent de $18$ par $f$ est $3$.
Antécédent égal à zéro
Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = 2x - 8$. Déterminer l'antécédent de $0$ par $g$.
Étape 1 : On écrit l'équation :
$2x - 8 = 0$
Étape 2 : On résout :
$2x = 8$
$x = \dfrac{8}{2} = 4$
Étape 3 : Vérification : $g(4) = 2 \times 4 - 8 = 8 - 8 = 0$, c'est correct.
L'antécédent de $0$ par $g$ est $4$.
Cas avec deux antécédents
Soit la fonction $h$ définie par $h(x) = x^2$. Déterminer les antécédents de $16$ par $h$.
Étape 1 : On écrit l'équation :
$x^2 = 16$
Étape 2 : On cherche les nombres dont le carré vaut $16$ :
$4^2 = 16$ et $(-4)^2 = 16$
Donc $x = 4$ ou $x = -4$.
Étape 3 : Vérification : $h(4) = 4^2 = 16$ et $h(-4) = (-4)^2 = 16$, c'est correct.
Les antécédents de $16$ par $h$ sont $4$ et $-4$.
Attention
- Un nombre peut avoir plusieurs antécédents : bien penser aux valeurs négatives dans le cas de fonctions avec des carrés.
- Un nombre peut aussi n'avoir aucun antécédent : par exemple, $-1$ n'a pas d'antécédent par $h(x) = x^2$ car un carré est toujours positif ou nul.
- Toujours vérifier le résultat en recalculant l'image.