Calculer la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire
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Pour calculer la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire $X$ qui prend les valeurs $x_1, \dots, x_n$ avec les probabilités $p_1, \dots, p_n$ :
- Étape 1 : calculer l'espérance $E(X) = \sum p_i x_i$.
Étape 2 : choisir la formule de la variance :
- formule de définition : $V(X) = \sum p_i (x_i - E(X))^2$ ;
- formule alternative : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$, avec $E(X^2) = \sum p_i x_i^2$.
- Étape 3 : effectuer le calcul de $V(X)$.
- Étape 4 : calculer l'écart-type $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ et donner la valeur exacte ou approchée.
Remarque
La formule alternative $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ est souvent plus rapide quand $E(X)$ n'est pas un nombre simple : elle évite de soustraire $E(X)$ à chaque $x_i$. Les deux formules donnent évidemment le même résultat.
Variance par la formule de définition
Soit $X$ la variable aléatoire de loi :
| $x_i$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $p(X = x_i)$ | $0{,}5$ | $0{,}3$ | $0{,}2$ |
Calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$.
Étape 1 : espérance :
$E(X) = 0 \times 0{,}5 + 1 \times 0{,}3 + 2 \times 0{,}2 = 0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}7$
Étape 2 : formule de définition.
Étape 3 : calcul des écarts au carré :
$V(X) = 0{,}5 \times (0 - 0{,}7)^2 + 0{,}3 \times (1 - 0{,}7)^2 + 0{,}2 \times (2 - 0{,}7)^2$
$V(X) = 0{,}5 \times 0{,}49 + 0{,}3 \times 0{,}09 + 0{,}2 \times 1{,}69$
$V(X) = 0{,}245 + 0{,}027 + 0{,}338$
Étape 4 : écart-type :
Variance par la formule alternative
Soit $X$ la variable aléatoire de loi :
| $x_i$ | $-1$ | $2$ | $5$ |
| $p(X = x_i)$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{1}{3}$ | $\dfrac{1}{6}$ |
Calculer $V(X)$ avec la formule $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$.
Étape 1 : espérance :
$E(X) = -1 \times \dfrac{1}{2} + 2 \times \dfrac{1}{3} + 5 \times \dfrac{1}{6}$
$E(X) = \dfrac{-3 + 4 + 5}{6} = \dfrac{6}{6} = 1$
Étape 2 : formule alternative — calcul de $E(X^2)$ :
$E(X^2) = (-1)^2 \times \dfrac{1}{2} + 2^2 \times \dfrac{1}{3} + 5^2 \times \dfrac{1}{6}$
$E(X^2) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{25}{6}$
$E(X^2) = \dfrac{3 + 8 + 25}{6} = \dfrac{36}{6} = 6$
Étape 3 : application de la formule :
Étape 4 : écart-type :
Attention
Erreurs fréquentes :
- Oublier d'élever au carré dans $E(X^2)$ : on calcule $E(X^2) = \sum p_i x_i^2$, pas $\sum p_i x_i$.
- Confondre $E(X^2)$ et $E(X)^2$ : ces deux nombres sont presque toujours différents (et leur différence est précisément la variance).
- Oublier la racine carrée pour passer de $V(X)$ à $\sigma(X)$.
- Donner une variance négative : $V(X) \geqslant 0$ toujours, vérifier le calcul si une valeur négative apparaît.