Calculer un nombre dérivé à l’aide de la définition
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Pour calculer le nombre dérivé $ f^{\prime}\left(x_{0}\right) $ d'une fonction $ f $ en un réel $ x_{0} $ à partir de la définition :
- Étape 1 : écrire le taux de variation de $ f $ entre $ x_{0} $ et $ x_{0}+h $ :
$ T\left(h\right)=\dfrac{f\left(x_{0}+h\right) - f\left(x_{0}\right)}{h} $ - Étape 2 : développer et simplifier le numérateur, puis factoriser par $ h $ pour pouvoir simplifier avec le dénominateur.
- Étape 3 : calculer la limite de $ T\left(h\right) $ lorsque $ h $ tend vers $ 0 $. Cette limite, lorsqu'elle existe et est finie, est le nombre dérivé $ f^{\prime}\left(x_{0}\right) $.
Cas d'une fonction polynôme
Calculer le nombre dérivé de la fonction $ f : x\mapsto x^{2} $ en $ x_{0}=3 $.
Étape 1 : on écrit le taux de variation entre $ 3 $ et $ 3+h $ :
$ T\left(h\right)=\dfrac{f\left(3+h\right) - f\left(3\right)}{h}=\dfrac{\left(3+h\right)^{2} - 9}{h} $
Étape 2 : on développe et on factorise par $ h $ :
$ \left(3+h\right)^{2} - 9 = 9+6h+h^{2}-9 = 6h+h^{2} = h\left(6+h\right) $
$ T\left(h\right)=\dfrac{h\left(6+h\right)}{h}=6+h $
Étape 3 : lorsque $ h $ tend vers $ 0 $, $ 6+h $ tend vers $ 6 $.
Cas de la fonction inverse
Calculer le nombre dérivé de la fonction $ f : x\mapsto \dfrac{1}{x} $ en $ x_{0}=2 $.
Étape 1 : on écrit le taux de variation pour $ h\neq 0 $ tel que $ 2+h\neq 0 $ :
$ T\left(h\right)=\dfrac{f\left(2+h\right) - f\left(2\right)}{h}=\dfrac{\dfrac{1}{2+h} - \dfrac{1}{2}}{h} $
Étape 2 : on réduit le numérateur au même dénominateur :
$ \dfrac{1}{2+h} - \dfrac{1}{2}=\dfrac{2-\left(2+h\right)}{2\left(2+h\right)}=\dfrac{-h}{2\left(2+h\right)} $
Donc :
$ T\left(h\right)=\dfrac{-h}{2\left(2+h\right)\times h}=\dfrac{-1}{2\left(2+h\right)} $
Étape 3 : lorsque $ h $ tend vers $ 0 $, $ 2+h $ tend vers $ 2 $ donc $ T\left(h\right) $ tend vers $ \dfrac{-1}{2\times 2}=-\dfrac{1}{4} $.
Remarque
On peut aussi utiliser la formulation équivalente :
selon que l'énoncé se prête mieux à un calcul en $ x_{0}+h $ ou directement en $ x $.
Attention
L'étape clé est la factorisation par $ h $ au numérateur : sans cette simplification, le quotient reste de la forme $ \dfrac{0}{0} $ lorsque $ h $ tend vers $ 0 $ et la limite est indéterminée.
Ne jamais remplacer directement $ h $ par $ 0 $ avant d'avoir simplifié.