Calculer un angle dans un triangle
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Pour calculer la mesure d'un angle inconnu dans un triangle, on utilise la propriété suivante : la somme des trois angles d'un triangle est égale à $180^{\circ}$.
- Repérer les angles dont la mesure est connue.
- Calculer la somme des angles connus.
- Soustraire cette somme de $180^{\circ}$ pour obtenir l'angle manquant.
Remarque
Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base ont la même mesure. On peut donc poser une seule inconnue pour ces deux angles.
Exemples
Triangle quelconque
Dans le triangle $RST$, on sait que $\widehat{SRT} = 45^{\circ}$ et $\widehat{RTS} = 63^{\circ}$. Calculer la mesure de $\widehat{RST}$.
Étape 1 : Les angles connus sont $\widehat{SRT} = 45^{\circ}$ et $\widehat{RTS} = 63^{\circ}$.
Étape 2 : On calcule la somme des angles connus :
$45^{\circ} + 63^{\circ} = 108^{\circ}$
Étape 3 : On soustrait de $180^{\circ}$ :
$\widehat{RST} = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}$
Triangle isocèle
Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ avec $\widehat{BAC} = 40^{\circ}$. Calculer les mesures des angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$.
Étape 1 : Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$, donc les deux angles à la base sont égaux : $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$.
Étape 2 : La somme des trois angles vaut $180^{\circ}$ :
$\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180^{\circ}$
$40^{\circ} + 2 \times \widehat{ABC} = 180^{\circ}$
Étape 3 : On résout :
$2 \times \widehat{ABC} = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}$
$\widehat{ABC} = \dfrac{140^{\circ}}{2} = 70^{\circ}$
Les deux angles à la base mesurent chacun $70^{\circ}$.
Triangle rectangle
Le triangle $EFG$ est rectangle en $F$ avec $\widehat{GEF} = 35^{\circ}$. Calculer la mesure de $\widehat{EGF}$.
Étape 1 : Le triangle est rectangle en $F$, donc $\widehat{EFG} = 90^{\circ}$. On connaît aussi $\widehat{GEF} = 35^{\circ}$.
Étape 2 : $90^{\circ} + 35^{\circ} = 125^{\circ}$
Étape 3 : $\widehat{EGF} = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$
Attention
- Ne pas oublier qu'un triangle rectangle possède un angle de $90^{\circ}$ : la somme des deux angles aigus vaut $90^{\circ}$.
- Dans un triangle isocèle, bien identifier quel sommet est le sommet principal (celui qui est seul, entre les deux côtés égaux) et quels sont les angles à la base.