Triangles et cas d'égalité
Exercices
Deux triangles isocèles et trois points alignés
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- $ABC$ est un triangle isocèle en $A$ tel que $\widehat{BAC} = 36^{\circ}$. Calculer les mesures des angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$.
- Le point $D$ est placé sur la droite $(BC)$, du côté de $C$, de sorte que les points $B$, $C$ et $D$ soient alignés dans cet ordre et que $CA = CD$.
Justifier que $\widehat{ACD} = 180^{\circ} - \widehat{ACB}$ et en déduire la mesure de $\widehat{ACD}$. - Quelle est la nature du triangle $ACD$ ? Calculer les mesures de ses trois angles.
Corrigé
- Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$, donc les angles à la base sont de même mesure :
$\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$.
La somme des trois angles d'un triangle vaut $180^{\circ}$ :
$\widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180^{\circ} - 36^{\circ} = 144^{\circ}$
$\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \dfrac{144^{\circ}}{2}$ = $\mathbf{72^{\circ}}$. - Les points $B$, $C$ et $D$ sont alignés, donc les angles $\widehat{ACB}$ et $\widehat{ACD}$ sont supplémentaires :
$\widehat{ACB} + \widehat{ACD} = 180^{\circ}$, ce qui donne $\widehat{ACD} = 180^{\circ} - \widehat{ACB}$.
On obtient :
$\widehat{ACD} = 180^{\circ} - 72^{\circ}$ = $\mathbf{108^{\circ}}$. Comme $CA = CD$, le triangle $ACD$ est isocèle en $C$.
Ses deux angles à la base sont donc de même mesure :
$\widehat{CAD} = \widehat{CDA}$.
La somme des trois angles vaut $180^{\circ}$ :
$\widehat{CAD} + \widehat{CDA} = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}$
$\widehat{CAD} = \widehat{CDA} = \dfrac{72^{\circ}}{2}$ = $\mathbf{36^{\circ}}$.Les trois angles du triangle $ACD$ sont $108^{\circ}$, $36^{\circ}$ et $36^{\circ}$.