Statistiques – Brevet Pondichéry 2013
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteObjectifs travaillés
Un professeur de SVT demande aux 29 élèves d'une classe de sixième de faire germer des graines de blé chez eux.
Le professeur donne un protocole expérimental à suivre :
- mettre en culture sur du coton dans une boîte placée dans une pièce éclairée, de température entre $20^{\circ}$C et $25^{\circ}$C ;
- arroser une fois par jour ;
- il est possible de couvrir les graines avec un film transparent pour éviter l'évaporation de l'eau.
Le tableau ci-dessous donne les tailles des plantules (petites plantes) des 29 élèves à 10 jours après la mise en germination.
| Taille en cm | 0 | 8 | 12 | 14 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
| Effectif | 1 | 2 | 2 | 4 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 2 |
- Combien de plantules ont une taille qui mesure au plus 12 cm ?
- Donner l'étendue de cette série.
- Calculer la moyenne de cette série. Arrondir au dixième près.
- Déterminer la médiane de cette série et interpréter le résultat.
- On considère qu'un élève a bien respecté le protocole si la taille de la plantule à 10 jours est supérieure ou égale à 14 cm.
Quel pourcentage des élèves de la classe a bien respecté le protocole ? - Le professeur a fait lui-même la même expérience en suivant le même protocole. Il a relevé la taille obtenue à 10 jours de germination.
Prouver que, si on ajoute la donnée du professeur à cette série, la médiane ne changera pas.
Corrigé
Les plantules qui mesurent au plus 12 cm correspondent aux tailles 0, 8 et 12 cm.
Leurs effectifs sont respectivement 1, 2 et 2.
$ 1 + 2 + 2 = 5 $Il y a 5 plantules qui ont une taille de 12 cm au plus.
La plus grande valeur est 22 cm et la plus petite est 0 cm.
L'étendue de cette série est :
$ 22 - 0 = 22 \text{ cm} $On calcule la moyenne pondérée :
$ \bar{x} = \dfrac{0 \times 1 + 8 \times 2 + 12 \times 2 + 14 \times 4 + 16 \times 2 + 17 \times 2 + 18 \times 3 + 19 \times 3 + 20 \times 4 + 21 \times 4 + 22 \times 2}{29} $
$ \bar{x} = \dfrac{0 + 16 + 24 + 56 + 32 + 34 + 54 + 57 + 80 + 84 + 44}{29} $
$ \bar{x} = \dfrac{481}{29} \approx 16{,}6 $La moyenne de cette série est d'environ 16,6 cm (arrondie au dixième).
L'effectif total est 29 (impair). La médiane est la valeur en position $ \dfrac{29 + 1}{2} = 15 $.
On calcule les effectifs cumulés croissants :
Taille (cm) 0 8 12 14 16 17 18 19 20 21 22 effectif 1 2 2 4 2 2 3 3 4 4 2 eff. cumulé 1 3 5 9 11 13 16 19 23 27 29 La 15e valeur se situe dans le groupe de taille 18 cm (l'effectif cumulé passe de 13 à 16).
La médiane est 18 cm. Cela signifie qu'au moins la moitié des plantules mesurent 18 cm ou moins, et au moins la moitié mesurent 18 cm ou plus.
Les élèves ayant bien respecté le protocole sont ceux dont la plantule mesure au moins 14 cm.
D'après le tableau, les plantules de moins de 14 cm ont un effectif de $ 1 + 2 + 2 = 5 $.Le nombre d'élèves ayant respecté le protocole est donc $ 29 - 5 = 24 $.
$ \dfrac{24}{29} \times 100 \approx 82{,}8 $Environ 82,8% des élèves ont bien respecté le protocole.
En ajoutant la donnée du professeur, l'effectif total passe à 30 (pair).
La médiane est alors la moyenne des 15e et 16e valeurs de la série ordonnée.Dans la série de départ, d'après les effectifs cumulés, les trois plantules de 18 cm occupent les rangs 14, 15 et 16.
Quelle que soit la taille de la plantule du professeur, on distingue deux cas :- Si la plantule du professeur mesure 18 cm ou plus : elle s'insère au rang 17 ou après. Les trois valeurs « 18 cm » restent aux rangs 14, 15 et 16 ; les 15e et 16e valeurs valent donc toutes les deux 18 cm.
- Si la plantule du professeur mesure moins de 18 cm : elle s'insère avant le rang 14, ce qui décale d'un rang les trois valeurs « 18 cm », qui occupent alors les rangs 15, 16 et 17 ; les 15e et 16e valeurs valent encore 18 cm.
Dans tous les cas, la médiane vaut $ \dfrac{18 + 18}{2} = 18 $.
La médiane ne change pas : elle reste égale à 18 cm.